Question

13．已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足：$\frac{1}{a_1}$+$\frac{1}{a_2}$+…+$\frac{1}{a_n}$=$\frac{n^2}{2}$（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若b_n=（-1）ⁿ$\frac{{4-{a_n}}}{a_n}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把n=1代入已知的式子求出a₁，當(dāng)n≥2時(shí)把n換成n-1列出式子，再作差化簡(jiǎn)后求出a_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和條件化簡(jiǎn)得b_n，對(duì)n進(jìn)行分類(lèi)討論后，利用并項(xiàng)求和法求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（Ⅰ）∵$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{a_n}=\frac{n^2}{2}（n∈{N^*}）$，①
∴當(dāng)n=1時(shí)，$\frac{1}{a_1}=\frac{1}{2}$，解得a₁=2．
當(dāng)n≥2時(shí)，$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{{{a_{n-1}}}}=\frac{{{{（n-1）}^2}}}{2}（n∈N*）$，②
①-②得，$\frac{1}{a_n}=\frac{n^2}{2}-\frac{{{{（n-1）}^2}}}{2}=\frac{2n-1}{2}$，
解得${a_n}=\frac{2}{2n-1}$，當(dāng)n=1時(shí)也成立，
∴${a_n}=\frac{2}{2n-1}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，${b_n}={（-1）^n}\frac{{4-{a_n}}}{a_n}={（-1）^n}（\frac{4}{a_n}-1）={（-1）^n}（4n-3）$，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，T_n=-1+5-9+13-17+…+（4n-3）
=（-1+5）+（-9+13）+…+[-（4n-7）+4n-3]
=$4×\frac{n}{2}=2n$，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，n+1為偶數(shù)，
T_n=T_n+1-b_n+1=2（n+1）-（4n+1）=-2n+1．
綜上，${T_n}=\left\{\begin{array}{l}2n，n為偶數(shù)\\-2n+1，n為奇數(shù).\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及數(shù)列求和方法：并項(xiàng)求和法，考查分類(lèi)討論思想，屬于中檔題．