Question

4．如圖，過(guò)點(diǎn)Q（a，0）（a＞0）的直線交拋物線y²=2px（p＞0）于A、B兩點(diǎn)，O為拋物線的頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A，B作對(duì)稱軸的平行線交BO、AO的延長(zhǎng)線于C，D．
（1）求證：點(diǎn)C，D在定直線l：x=-a上；
（2）設(shè)P為CD的中點(diǎn)，記AP∩QC=M，BP∩QD=N，試判斷：S_△AMQ、S_△PMN、S_△BNQ是否成等比數(shù)列？并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），直線OA的方程為y=k₁x，聯(lián)立OA所在直線方程與拋物線方程，解得${y}_{A}=\frac{2p}{{k}_{1}}$，設(shè)直線OB的方程為y=k₂x，同理解得${y}_{B}=\frac{2p}{{k}_{2}}$．把${y}_{A}=\frac{2p}{{k}_{1}}$，${y}_{B}=\frac{2p}{{k}_{2}}$分別代入直線OB、OA的方程，可得${x}_{C}={x}_{D}=\frac{2p}{{k}_{1}{k}_{2}}$．再設(shè)直線AB的方程為x=ty+a，與拋物線方程聯(lián)立后結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得x_C=x_D=-a，即點(diǎn)C，D在定直線l：x=-a上；
（2）由（1）知，y_A+y_B=2pt，y_Ay_B=-2pa，又C（-a，y_A），D（-a，y_B），P（-a，$\frac{{y}_{A}+{y}_{B}}{2}$），利用斜率關(guān)系證明AP∥DQ，BP∥CQ，然后利用三角形的比例關(guān)系證明${{S}_{△PMN}}^{2}={S}_{AMQ}•{S}_{△BNQ}$，可得S_△AMQ、S_△PMN、S_△BNQ成等比數(shù)列．

解答 （1）證明：設(shè)A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），直線OA的方程為y=k₁x，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}x}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，解得${y}_{A}=\frac{2p}{{k}_{1}}$，
同理設(shè)直線OB的方程為y=k₂x，求得${y}_{B}=\frac{2p}{{k}_{2}}$．
將${y}_{A}=\frac{2p}{{k}_{1}}$，${y}_{B}=\frac{2p}{{k}_{2}}$分別代入直線OB、OA的方程，可得${x}_{C}={x}_{D}=\frac{2p}{{k}_{1}{k}_{2}}$．
設(shè)直線AB的方程為x=ty+a，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+a}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，得y²-2pty-2pa=0．
則y_Ay_B=-2pa，
∴$\frac{2p}{{k}_{1}}•\frac{2p}{{k}_{2}}=-2pa$，得$\frac{2p}{{k}_{1}{k}_{2}}=-a$．
∴x_C=x_D=-a，即點(diǎn)C，D在定直線l：x=-a上；
（2）解：S_△AMQ、S_△PMN、S_△BNQ成等比數(shù)列，即${{S}_{△PMN}}^{2}={S}_{AMQ}•{S}_{△BNQ}$．
事實(shí)上，由（1）知，y_A+y_B=2pt，y_Ay_B=-2pa，
又C（-a，y_A），D（-a，y_B），P（-a，$\frac{{y}_{A}+{y}_{B}}{2}$），
則${k}_{AP}-{k}_{DQ}=\frac{{y}_{A}-\frac{{y}_{A}+{y}_{B}}{2}}{\frac{{{y}_{A}}^{2}}{2P}+a}-\frac{-{y}_{B}}{a+a}$=$\frac{p（{y}_{A}-{y}_{B}）}{{{y}_{A}}^{2}+2Pa}+\frac{{y}_{B}}{2a}$=$\frac{p（{y}_{A}-{y}_{B}）}{{{y}_{A}}^{2}-{y}_{A}{y}_{B}}-\frac{p}{{y}_{A}}=0$．
∴k_AP=k_DQ，即AP∥DQ，同理可得BP∥CQ．
在△ABP中，$\frac{{S}_{△AMQ}}{{S}_{△MPQ}}$=$\frac{AM}{MP}=\frac{AQ}{QB}$=$\frac{{S}_{△APQ}}{{S}_{PQB}}$=$\frac{{S}_{△AMQ}+{S}_{△MPQ}}{{S}_{NPQ}+{S}_{△BNQ}}$，
在平行四邊形PMQN中，S_MPQ=S_△NPQ=S_△PMN，
∴$\frac{{S}_{△AMQ}}{{S}_{△PMN}}=\frac{{S}_{△AMQ}+{S}_{PMN}}{{S}_{△PMN}+{S}_{△BNQ}}=\frac{{S}_{△PMN}}{{S}_{BNQ}}$，
∴${{S}_{△PMN}}^{2}={S}_{AMQ}•{S}_{△BNQ}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法與數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查運(yùn)算能力，是難題．