Question

【題目】已知曲線方程，（ ， ）．

（）若此方程表示圓，求的值及的范圍．

（）在（）的條件下，若，直線過(guò)且與圓相交于， 兩點(diǎn)，且，求直

線方程．

Answer 1

【答案】（1）且；（2）或.

【解析】試題分析：（1）曲線方程可化為，若此方程表示圓，則且，即可得解；

（2）為圓心， 為中點(diǎn)，由垂徑定理可得，討論過(guò)點(diǎn)的直線斜率存在和不存在時(shí)由點(diǎn)到直線距離求直線即可.

試題解析：

（）曲線方程可化為，（ ， ），

若此方程表示圓，則且，

即且．

（）

如圖， 為圓心， 為中點(diǎn)，

由（）知，

當(dāng)時(shí)，圓的方程為，

其中圓心為，半徑．

為中點(diǎn)，且，

∴，且，

在直角三角形中， ，

∴．

①當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，

此時(shí)圓心到直線的距離為，符合題意；

②當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，則直線方程．

由點(diǎn)到直線距離公式知，解得，

所以直線方程為，

整理得．

因此，過(guò)且與圓的交線段長(zhǎng)度等于的直線為或．