Question

【題目】按照某學(xué)者的理論，假設(shè)一個(gè)人生產(chǎn)某產(chǎn)品單件成本為a元，如果他賣出該產(chǎn)品的單價(jià)為m元，則他的滿意度為 ；如果他買進(jìn)該產(chǎn)品的單價(jià)為n元，則他的滿意度為 ．如果一個(gè)人對兩種交易（賣出或買進(jìn)）的滿意度分別為h1和h2 ， 則他對這兩種交易的綜合滿意度為 ．現(xiàn)假設(shè)甲生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的單件成本分別為12元和5元，乙生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的單件成本分別為3元和20元，設(shè)產(chǎn)品A、B的單價(jià)分別為mAm元和mB元，甲買進(jìn)A與賣出B的綜合滿意度為h甲 ， 乙賣出A與買進(jìn)B的綜合滿意度為h乙 ．
（1）求h甲和h乙關(guān)于mA、mB的表達(dá)式；當(dāng)mA= mB時(shí)，求證：h甲=h乙；
（2）設(shè)mA= mB ， 當(dāng)mA、mB分別為多少時(shí)，甲、乙兩人的綜合滿意度均最大？最大的綜合滿意度為多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：h甲= ，h乙= ，mA∈[3，12]，mB∈[5，20]

當(dāng)mA= mB時(shí)，h甲= ，h乙= ，

∴h甲=h乙

（2）解：當(dāng)mA= mB時(shí)，h甲= = ，

由mB∈[5，20]得 ∈[ ， ]，故當(dāng) = ，

即mB=20，mA=12時(shí)，甲乙兩人同時(shí)取到最大的綜合滿意度為

【解析】（1）表示出甲和乙的滿意度，整理出最簡形式，在條件mA= mB時(shí)，表示出要證明的相等的兩個(gè)式子，得到兩個(gè)式子相等．（2）在上一問表示出的結(jié)果中，整理出關(guān)于變量的符合基本不等式的形式，利用基本不等式求出兩個(gè)人滿意度最大時(shí)的結(jié)果，并且寫出等號成立的條件．