Question

【題目】設f（x）= 為奇函數(shù)，a為常數(shù)．
（1）求a的值；并判斷f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的單調性；
（2）若對于區(qū)間（3，4）上的每一個x的值，不等式f（x）＞ 恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是奇函數(shù)，∴定義域關于原點對稱，

由 ，得（x﹣1）（1﹣ax）＞0．

令（x﹣1）（1﹣ax）=0，得x1=1，x2= ，∴ =﹣1，解得a=﹣1．

令u（x）= =1+ ，設任意x1＜x2，且x1，x2∈（1，+∞），

則u（x1）﹣u（x2）= ，

∵1＜x1＜x2，∴x1﹣1＞0，x2﹣1＞0，x2﹣x1＞0，

∴u（x1）﹣u（x2）＞0，即u（x1）＞u（x2）．

∴u（x）=1+ （x＞1）是減函數(shù)，

又 為減函數(shù)，

∴f（x）= 在（1，+∞）上為增函數(shù)

（2）解：由題意知 ﹣ ＞m，x∈（3，4）時恒成立，

令g（x）= ﹣ ，x∈（3，4），由（1）知 在[3，4]上為增函數(shù)，

又﹣ 在（3，4）上也是增函數(shù)，故g（x）在（3，4）上為增函數(shù)，

∴g（x）的最小值為g（3）= ﹣ =﹣ ，

∴m≤﹣ ，故實數(shù)m的范圍是（﹣∞，﹣ ]

【解析】（1）由奇函數(shù)的定義域關于原點對稱可求得a值，根據(jù)單調性的定義及復合函數(shù)單調性的判定方法可判斷f（x）的單調性；（2）不等式f（x）＞ 恒成立，等價于f（x）﹣ ＞m恒成立，構造函數(shù)g（x）=f（x）﹣ ，x∈（3，4），轉化為求函數(shù)g（x）在（3，4）上的最值問題即可解決．
【考點精析】關于本題考查的奇偶性與單調性的綜合，需要了解奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調性；偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上有相反的單調性才能得出正確答案．