Question

【題目】如圖1，四邊形是邊長為2的菱形，，為的中點，以為折痕將折起到的位置，使得平面平面，如圖2.

（1）證明：平面平面；

（2）求點到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）由題意可證得，，所以平面，則平面平面可證；

（2）解法一：利用等體積法由可求出點到平面的距離；解法二：由條件知點到平面的距離等于點到平面的距離，過點作的垂線，垂足，證明平面，計算出即可.

解法一：（1）依題意知，因為，所以.

又平面平面，平面平面，平面，

所以平面.

又平面，

所以.

由已知，是等邊三角形，且為的中點，所以.

因為，所以.

又，所以平面.

又平面，所以平面平面.

（2）在中，，，所以.

由（1）知，平面，且，

所以三棱錐的體積.

在中，，，得，

由（1）知，平面，所以，

所以，

設點到平面的距離，

則三棱錐的體積，得.

解法二：（1）同解法一；

（2）因為，平面，平面，

所以平面.

所以點到平面的距離等于點到平面的距離.

過點作的垂線，垂足，即.

由（1）知，平面平面，平面平面，平面，

所以平面，即為點到平面的距離.

由（1）知，，

在中，，，得.

又，所以.

所以點到平面的距離為.