Question

設(shè)橢圓

x2

4

+

y2

a2

=1和雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1有共同的焦點，連接橢圓的焦點和短軸的一個端點所得直線和雙曲線的一條漸近線平行，設(shè)雙曲線的離心率為e，則e²等于（　　）

• A、

  5 +1

  2

• B、

  3 +1

  2

• C、

  3

• D、

  5

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：求出橢圓焦點（c，0）和短軸的一個端點（0，a），運用直線的斜率公式和雙曲線的漸近線方程，結(jié)合兩直線平行的條件可得a²=bc，再由4-2a²=b²，c²=4-a²，解方程可得a²，c²，再由離心率公式計算即可得到．

解答： 解：由于橢圓

x2

4

+

y2

a2

=1和雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1有共同的焦點（-c，0），（c，0），
則4-a²=a²+b²，
設(shè)橢圓的焦點（c，0）和短軸的一個端點（0，a），
即有所得直線的斜率為-

a

c

，
雙曲線的一條漸近線方程為y=-

b

a

x，
即有

a

c

=

b

a

，
由a²=bc，4-2a²=b²，c²=4-a²，解得
a²=6-2

5

（由于a²＜4，a²=6+2

5

舍去），
c²=2

5

-2，
e²=

c2

a2

=

2 5 -2

6-2 5

=

5 +1

2

，
故選A．

點評：本題考查橢圓和雙曲線的方程和性質(zhì)，考查雙曲線的漸近線方程和兩直線平行的條件，考查離心率的求法，考查運算能力，屬于中檔題．