Question

已知f（x）=e^x（sinx-cosx）（0≤x≤2015π），求則函數(shù)f（x）的各極大值之和為（　　）

• A、

  eπ(1-e2014π)

  1-e2π

• B、

  eπ(1-e2016π)

  1-e2π

• C、

  e2π(1-e2014π)

  1-e2π

• D、

  e2π(1-e2016π)

  1-e2π

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：求出函數(shù)的函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極大值點(diǎn)，從而求出極大值；
再利用等比數(shù)列的求和公式求出函數(shù)f（x）的各極大值之和．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=e^x（sinx-cosx），
∴f′（x）=[e^x（sinx-cosx）]′=e^x（sinx-cosx）+e^x（cosx+sinx）=2e^xsinx；
令f′（x）=0，解得x=kπ（k∈Z）；
∴當(dāng)2kπ＜x＜2kπ+π時(shí)，f′（x）＞0，原函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)2kπ+π＜x＜2kπ+2π時(shí)，f′（x）＜0，原函數(shù)單調(diào)遞減；
∴當(dāng)x=2kπ+π時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值，
此時(shí)f（2kπ+π）=e^2kπ+π[sin（2kπ+π）-cos（2kπ+π）]=e^2kπ+π；
又∵0≤x≤2015π，∴0和2015π都不是極值點(diǎn)，
∴函數(shù)f（x）的各極大值之和為：
e^π+e^3π+e^5π+…+e^2011π+e^2013π=

eπ(1-(e2π)1007)

1-e2π

=

eπ(1-e2014π)

1-e2π

．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)區(qū)間以及求極大值的問(wèn)題，也考查了等比數(shù)列的求和公式的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．