Question

20．在平面直角坐標系xoy中，已知圓C₁：（x+3）²+（y-1）²=4和圓C₂：（x-4）²+（y-5）²=4．
（Ⅰ）若直線l過點A（-2，4），且被圓C₁截得的弦長為2$\sqrt{3}$，求直線l的方程；
（Ⅱ）設P為平面上的點，滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l₁和l₂，它們分別與圓C₂相交，且直線l₁被圓C₁截得的弦長與直線l₂被圓C₂截得的弦長相等，試求所有滿足點P的坐標．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)半弦長、半徑、弦心距滿足勾股定理，我們可以求出弦心距，即圓心到直線的距離，分類討論，得到一個關于直線斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直線l的方程．
（Ⅱ）與（Ⅰ）相同，我們可以設出過P點的直線l₁與l₂的點斜式方程，由于兩直線斜率為1，且直線l₁被圓C₁截得的弦長與直線l₂被圓C₂截得的弦長相等，故我們可以得到一個關于直線斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直線l₁與l₂的方程．

解答 解：（Ⅰ）圓C₁的圓心到直線l的距離為d，
∵l被⊙C₁截得的弦長為2$\sqrt{3}$，
∴d=1
直線l的斜率不存在，直線x=-2滿足題意；
直線l的斜率存在，設l方程為：y-4=k（x+2），即kx-y+2k+4=0（2分）
d=$\frac{|-3k-1+2k+4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1
∴k=$\frac{4}{3}$，
∴直線l的方程為：4x+3y+20=0
∴直線l的方程為：x=-2或4x+3y+20=0（5分）
（Ⅱ）設點P（a，b）滿足條件，
由題意分析可得直線l₁、l₂的斜率均存在且不為0，
不妨設直線l₁的方程為y-b=k（x-a），k≠0
則直線l₂方程為：y-b=-$\frac{1}{k}$（x-a）（6分）
∵⊙C₁和⊙C₂的半徑相等，及直線l₁被圓C₁截得的弦長與直線l₂被圓C₂截得的弦長相等，
∴⊙C₁的圓心到直線l₁的距離和圓C₂的圓心到直線l₂的距離相等
即$\frac{|1-k（-3-a）-b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{|5+\frac{1}{k}（4-a）-b）}{\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}}$（8分）
整理得|1+3k+ak-b|=|5k+4-a-bk|
∴1+3k+ak-b=±（5k+4-a-bk）即（a+b-2）k=b-a+3或（a-b+8）k=a+b-5
因k的取值有無窮多個，所以$\left\{\begin{array}{l}{a+b-2=0}\\{b-a+3=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a-b+8=0}\\{a+b-5=0}\end{array}\right.$（10分）
解得a=$\frac{5}{2}$，b=-$\frac{1}{2}$或a=-$\frac{3}{2}$，b=$\frac{13}{2}$
這樣的點只可能是點P₁（$\frac{5}{2}$，-$\frac{1}{2}$）或點P₂（-$\frac{3}{2}$，$\frac{13}{2}$）
經(jīng)檢驗點P₁和P₂滿足題目條件（12分）

點評 在解決與圓相關的弦長問題時，我們有三種方法：一是直接求出直線與圓的交點坐標，再利用兩點間的距離公式得出；二是不求交點坐標，用一元二次方程根與系數(shù)的關系得出，即設直線的斜率為k，直線與圓聯(lián)立消去y后得到一個關于x的一元二次方程再利用弦長公式求解，三是利用圓中半弦長、弦心距及半徑構(gòu)成的直角三角形來求．對于圓中的弦長問題，一般利用第三種方法比較簡捷．本題所用方法就是第三種方法．