Question

已知中心在原點(diǎn)的橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，且左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，這兩條曲線在第一象限的交點(diǎn)為P，△PF₁F₂ 是以PF₁為底邊的等腰三角形．若|PF₁|=10，橢圓與雙曲線的離心率分別為e₁、e₂，則e₁•e₂ 的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì),雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)橢圓和雙曲線的半焦距為c，|PF₁|=m，|PF₂|=n，（m＞n），由條件可得m=10，n=2c，再由橢圓和雙曲線的定義可得a₁=5+c，a₂=5-c，（c＜5），運(yùn)用三角形的三邊關(guān)系求得c的范圍，再由離心率公式，計(jì)算即可得到所求范圍．

解答： 解：設(shè)橢圓和雙曲線的半焦距為c，|PF₁|=m，|PF₂|=n，（m＞n），
由于△PF₁F₂是以PF₁為底邊的等腰三角形．若|PF₁|=10，
即有m=10，n=2c，
由橢圓的定義可得m+n=2a₁，
由雙曲線的定義可得m-n=2a₂，
即有a₁=5+c，a₂=5-c，（c＜5），
再由三角形的兩邊之和大于第三邊，可得2c+2c＞10，
可得c＞

5

2

，即有

5

2

＜c＜5．
由離心率公式可得e₁•e₂=

c

a1

•

c

a2

=

c2

25-c2

=

1

25 c2 -1

，
由于1＜

25

c2

＜4，則有

1

25 c2 -1

＞

1

3

．
則e₁•e₂ 的取值范圍為（

1

3

，+∞）．
故答案為：（

1

3

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓和雙曲線的定義和性質(zhì)，考查離心率的求法，考查三角形的三邊關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．