Question

2．在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$，（ φ為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l₁的極坐標方程為ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，直線l₂的極坐標方程為θ=$\frac{π}{2}$，l₁與l₂的交點為M．
（I）判斷點M與曲線C的位置關(guān)系；
（Ⅱ）點P為曲線C上的任意一點，求|PM|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分別根據(jù)極坐標和直角坐標構(gòu)造方程組解得即可，
（Ⅱ）設(shè)與點P的坐標，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最值．

解答 解：（Ⅰ）方法一：由$\left\{\begin{array}{l}{ρsin（θ-\frac{π}{4}）=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{θ=\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，得ρ=1，
所以l₁與l₂的交點M的極坐標為（1，$\frac{π}{2}$）．即點M的直角坐標為（0，1），
又曲線C的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，
且$\frac{{0}^{2}}{4}$+1²=1，
所以點M在曲線C上，
方法二：直線l₁的直線方程為x-y+1=0，
直線l₁的直線方程為x=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0}\\{x=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$，
所以所以l₁與l₂的交點M的直角坐標為（0，1），
又曲線C的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，
且$\frac{{0}^{2}}{4}$+1²=1，
所以點M在曲線C上，
（Ⅱ）方法一：設(shè)點P的直角坐標為（2cosφ，sinφ），
所以|PM|²=4cos²φ+（sinφ-1）²=-3sin2φ-2sinφ+5=-3（sinφ+$\frac{1}{3}$）²+$\frac{16}{3}$，
當sinφ=-$\frac{1}{3}$時，|PM|²_max=$\frac{16}{3}$，
所以|PM|的最大值為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
方法二：設(shè)點P（x₀，y₀），其中x₀²+4y₀²=4．
則|PM|²=x₀²+（y₀-1）²=-3y₀²-2y₀+5=-3（y₀+$\frac{1}{3}$）²+$\frac{16}{3}$，
當y₀=-$\frac{1}{3}$時，|PM|²_max=$\frac{16}{3}$，
所以|PM|的最大值為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了參數(shù)方程，極坐標等基本知識，考查了運算求解能力，考查了化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．