Question

函數(shù)f（x）=x|x-a|，其中x∈R，
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；    
（2）寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）討論a=0時(shí)與a≠0時(shí)的奇偶性，然后運(yùn)用定義進(jìn)行證明即可；
（2）討論a的符號(hào)，然后去掉絕對(duì)值利用分段函數(shù)表示，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x|x|，
因?yàn)槎�義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
且f（-x）=-x|-x|=-f（x），所以f（x）為奇函數(shù)；
當(dāng)a≠0時(shí)，f（x）=x|x-a|，f（-x）=-x|-x-a|，
所以f（-x）≠f（x），f（-x）≠-f（x）
所以f（x）是非奇非偶函數(shù)．
（2）①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=

x2，x≥0 -x2，x＜0

，
f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，+∞）；
②當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）=

x2-ax，x≥a -x2+ax，x＜a

，
f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，

a

2

）和（a，+∞）；
f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（

a

2

，a）；
③當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）=

x2-ax，x≥a -x2+ax，x＜a

，
f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，a）和（

a

2

，+∞）；
f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（a，

a

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的判定，以及函數(shù)的單調(diào)性的判定，同時(shí)考查了分類討論的思想，屬于中檔題．