Question

9．已知|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=2，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為120°，求使$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow$與k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$的夾角為銳角的實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 利用數(shù)量積大于零解出k的范圍，去掉共線的特殊情況得答案．

解答 解：$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=1×2×cos120°=-1．
∴（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow$）•（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=$k{\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{k}^{2}\overrightarrow{a}•\overrightarrow+k{\overrightarrow}^{2}$
=$k{\overrightarrow{a}}^{2}+（{k}^{2}+1）\overrightarrow{a}•\overrightarrow+k{\overrightarrow}^{2}$=k-k²-1+4k=-k²+5k-1，
∵向量$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow$與k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$的夾角為銳角，
∴-k²+5k-1＞0．解得$\frac{5-\sqrt{21}}{2}＜k＜\frac{5+\sqrt{21}}{2}$．
若向量$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow$與k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$的方向相同，則$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow$=λ（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$），
即$\left\{\begin{array}{l}{λ=k}\\{k=1}\end{array}\right.$，∴k=1．
∴k的取值范圍是（$\frac{5-\sqrt{21}}{2}，1$）∪（1，$\frac{5+\sqrt{21}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積及夾角計(jì)算，注意共線的情況，是中檔題．