Question

15．在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AA₁=3，E為B₁C₁的中點(diǎn)，F(xiàn)在CC₁上，且C₁F=1，G在AA₁上，且AG=2．
（1）證明：DG∥平面A₁EF；
（2）設(shè)平面A₁EF與DD₁交于點(diǎn)H，求線段DH的長，并求出截面A₁EFH的面積．

Answer 1

分析 （1）構(gòu)造四邊形GMCD是平行四邊形，利用線線平行，證明線面平行，從而證明DG∥平面A₁EF；
（2）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，結(jié)合題意，得出截面A₁EFH是等腰梯形，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)求出截面面積．

解答 解：（1）證明：如圖所示，
設(shè)M為BB₁上一點(diǎn)，且BM=2，連接MG、MC，易得GM∥DC，且GM=DC，
∴四邊形GMCD是平行四邊形，
∴DG∥CM；
在矩形B₁C₁CB中，C₁E=C₁F=1，BC=BM=2，
∴∠MCF=∠EFC=45°，∴FE∥CM，∴DG∥FE；
又DG?平面A₁EF，F(xiàn)E?平面A₁EF，
∴DG∥平面A₁EF；
（2）∵DG∥平面A₁EF，DG?平面AA₁D₁D，
平面AA₁D₁D∩平面A₁EF=A₁H，
∴DG∥A₁H，∴DH=A₁G=1；
由上易得截面A₁EFH是等腰梯形；
其中EF=$\sqrt{2}$，A₁H=2$\sqrt{2}$，A₁E=$\sqrt{5}$；
由此可得等腰梯形A₁EFH的高為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$；
∴截面A₁EFH的面積為$\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間中的線線與線面平行的應(yīng)用問題，也考查了空間想象能力與邏輯思維能力的應(yīng)用問題，是綜合性題目．