Question

19．已知向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$垂直，且|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=24，若t∈[0，1]，則|t$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AO}$|+|$\frac{5}{12}$$\overrightarrow{BO}$-（1-t）$\overrightarrow{BA}$|的最小值為（　　）

• A． 2$\sqrt{193}$
• B． 26
• C． 17$\sqrt{2}$
• D． 24

Answer 1

分析 由題意，在OB上取$\overrightarrow{BD}=\frac{5}{12}\overrightarrow{BO}$，在AB上取動點C，使$\overrightarrow{AC}=t\overrightarrow{AB}$（0≤t≤1），則|t$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AO}$|+|$\frac{5}{12}$$\overrightarrow{BO}$-（1-t）$\overrightarrow{BA}$|=$|\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AO}|+|\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BC}|$=$|\overrightarrow{CO}|+|\overrightarrow{CD}|$，則|t$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AO}$|+|$\frac{5}{12}$$\overrightarrow{BO}$-（1-t）$\overrightarrow{BA}$|的最小值可求．

解答 解：如圖，在Rt△AOB中，已知∠AOB=90°，OA=OB=24
在OB上取點D，使得$BD=\frac{5}{12}BO=10$．
在AB上有一動點C，設(shè)$\overrightarrow{AC}=t\overrightarrow{AB}$（0≤t≤1），
則|t$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AO}$|+|$\frac{5}{12}$$\overrightarrow{BO}$-（1-t）$\overrightarrow{BA}$|=$|\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AO}|+|\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BC}|$
=$|\overrightarrow{CO}|+|\overrightarrow{CD}|$．
∴$（|\overrightarrow{CO}|+|\overrightarrow{CD}|）_{min}=\sqrt{B{D}^{2}+B{O}^{2}}$=$\sqrt{2{4}^{2}+1{0}^{2}}=26$．
故選：B．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了靈活解決問題和處理問題的能力，是中檔題．