Question

已知函數(shù)f（x）=log₂（|x-1|+|x+2|-a）．
（1）當(dāng)a=7時(shí)，求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≥3的解集是R，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題,函數(shù)的定義域及其求法,指、對(duì)數(shù)不等式的解法

專(zhuān)題：綜合題,推理和證明

分析：（1）分類(lèi)討論，不等式的解集是以下不等式組解集的并集：

x≥1 x-1+x+2＞7

或

-2＜x＜1 -x+1+x+2＞7

或

x≤-2 -x+1-x-2＞7

，可得函數(shù)f（x）的定義域；
（2）不等式f（x）≥3，|x-1|+|x+2|≥a+8的解集為R，求出|x-1|+|x+2|的最小值，即可求a的取值范圍．

解答： 解：（1）由已知得|x-1|+|x+2|＞7，
不等式的解集是以下不等式組解集的并集：

x≥1 x-1+x+2＞7

或

-2＜x＜1 -x+1+x+2＞7

或

x≤-2 -x+1-x-2＞7

，
解得函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，-4）∪（3，+∞）．

（2）不等式f（x）≥3，|x-1|+|x+2|≥a+8的解集為R
∵|x-1|+|x+2|≥|（x-1）-（x+2）|=3，
∴a+8≤3，
即a≤-5．
所以a的取值范圍是（-∞，-5]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的解法，考查恒成立問(wèn)題，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．