Question

14．對于數(shù)列{a_n}，a₁=a$+\frac{1}{a}$（a＞0．，且a≠1），a_n+1=a₁-$\frac{1}{{a}_{n}}$．
（1）求a₂，a₃，a₄，并猜想這個數(shù)列的通項公式；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．

Answer 1

分析 由遞推公式可知，寫出a₂、a₃、a₃，進行歸納推理寫出通項公式，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答 解：${a}_{2}={a}_{1}-\frac{1}{{a}_{1}}=a+\frac{1}{a}-\frac{1}{a+\frac{1}{a}}=\frac{{a}^{4}+{a}^{2}+1}{{a}^{2}+1}×\frac{1}{a}$
${a}_{3}={a}_{2}-\frac{1}{{a}_{2}}=\frac{{a}^{6}+{a}^{4}+{a}^{2}+1}{{a}^{4}+{a}^{2}+1}×\frac{1}{a}$
${a}_{4}={a}_{3}-\frac{1}{{a}_{3}}=\frac{{a}^{8}+{a}^{6}+{a}^{4}+{a}^{2}+1}{{a}^{6}+{a}^{4}+{a}^{2}+1}×\frac{1}{a}$
設(shè)$_{n}={a}^{2n}+{a}^{2n-2}+{a}^{2n-4}+…+1$
猜想
${a}_{n}=\frac{_{n}}{_{n-1}}•\frac{1}{a}$
n≤4成立；
設(shè)n=k成立，${a}_{k}=\frac{_{k}}{_{k-1}}•\frac{1}{a}$
當(dāng)n=k+1時，
=${a}_{1}-\frac{{a}_{1}•_{（k-1）}}{_{k}}$
=$\frac{{a}^{2}+1}{a}-\frac{a•_{k-1}}{_{k}}$
=$\frac{{（a}^{2}+1）•_{k}-{a}^{2}•_{k-1}}{a_{k}}$
=$\frac{_{k+1}-1+_{k}-{（b}_{k}-1）}{a_{k}}$
=$\frac{_{k+1}}{a_{k}}$
∴n=k+1成立
由數(shù)學(xué)歸納法可知原式成立．

點評 本題主要考察對已知遞推公式，分別求解，然后根據(jù)規(guī)律寫出通項公式，然后利用數(shù)學(xué)歸納法進行證明．屬于中檔題．