Question

6．如圖，四邊形ABCD為菱形，EB⊥平面ABCD，EF∥BD，EF=$\frac{1}{2}$BD．
（Ⅰ）求證：DF∥平面AEC；
（Ⅱ）求證：平面AEF⊥平面AFC．

Answer 1

分析 （I）設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，連接EO，則四邊形DOEF為平行四邊形，故而DF∥OE，于是DF∥平面AEC；
（II）由BE⊥平面ABCD可得BE⊥BO，即四邊形OBEF是矩形，于是OB⊥OF，由菱形的性質(zhì)得OB⊥AC，故而OB⊥平面AFC，而OB∥EF，EF?平面AEF，故而平面AEF⊥平面AFC．

解答 證明：（I）設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，連接EO，
因?yàn)?EF=\frac{1}{2}BD$，所以EF=OD
因?yàn)镋F∥BD，所以EF∥OD．
故四邊形DOEF為平行四邊形，
所以DF∥OE，
又OE?平面AEC，DF?平面AEC，
所以DF∥平面AEC．
（Ⅱ）連結(jié)OF，因?yàn)?EF=\frac{1}{2}BD$，所以EF=OB，因?yàn)镋F∥BD，所以EF∥OB，
故四邊形BOFE為平行四邊形．
所以EB∥FO，因?yàn)镋B⊥平面ABCD，所以FO⊥平面ABCD，
又OB?平面ABCD，所以FO⊥OB．
因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以O(shè)B⊥AC，
又AC?平面AFC，OF?平面AFC，AC∩OF=O，
所以O(shè)B⊥平面AFC．
又EF∥OB，所以EF⊥平面AFC．
因?yàn)镋F?平面AEF，
所以平面AEF⊥平面AFC．

點(diǎn)評 本題考查了線面平行，面面垂直的判定，屬于中檔題．