Question

雙峰一中是蔡和森的母校，已有百多年歷史，學(xué)校教育教學(xué)質(zhì)量穩(wěn)步提高，今年高考喜獲豐收，明年高考定會(huì)再創(chuàng)輝煌．為了貫徹全面發(fā)展的教育方針，學(xué)校決定新建造一個(gè)面積為10000平方米的運(yùn)動(dòng)場(chǎng)．如圖，運(yùn)動(dòng)場(chǎng)是由一個(gè)矩形ABCD和分別以AD、BC為直徑的兩個(gè)半圓組成．跑道是一條寬8米的塑膠跑道，運(yùn)動(dòng)場(chǎng)除跑道外，其他地方均鋪設(shè)草皮．已知塑膠跑道每平方米造價(jià)為150元，草皮每平方米造價(jià)為30元．
（1）設(shè)半圓的半徑OA=r（米），試建立塑膠跑道面積S與r的函數(shù)關(guān)系式S（r）；
（2）由于條件限制r∈[30，40]，問(wèn)當(dāng)r取何值時(shí)，運(yùn)動(dòng)場(chǎng)造價(jià)最低？最低造價(jià)是多少元？（精確到元，π≈3.1416）

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用,函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專(zhuān)題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由面積公式寫(xiě)出S=π[r²-（r-8）²]+8×

10000-πr2

2r

×2，注明定義域；
（2）由函數(shù)的單調(diào)性求最值．

解答： 解：（1）塑膠跑道面積
S=π[r²-（r-8）²]+8×

10000-πr2

2r

×2
=

80000

r

+8πr-64π（0＜r＜

100

π

）；
（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)場(chǎng)造價(jià)為y元；
y=150×（

80000

r

+8πr-64π）+30×（10000-

80000

r

-8πr+64π）
=300000+120（

80000

r

+8πr）-7680π；
∵r∈[30，40]；函數(shù)y是r的減函數(shù)，
∴當(dāng)r=40時(shí)，運(yùn)動(dòng)場(chǎng)造價(jià)最低為626510元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，同時(shí)考查了函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題．