【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,點(diǎn)E是PC的中點(diǎn),作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.
(1)求證:PA∥平面BDE;
(2)求證:PB⊥平面DEF.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析
【解析】
(1)連結(jié)AC,設(shè)AC交BD于O,連結(jié)EO,利用中位線定理以及線面平行的判定定理,即可證明;
(2)先利用線面垂直的判定定理以及線面垂直的性質(zhì)得出BC⊥DE, DE⊥PB,最后利用線面垂直的判定定理得出PB⊥平面DEF.
證明:(1)連結(jié)AC,設(shè)AC交BD于O,連結(jié)EO
∵底面ABCD是矩形,∴點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)
又∵點(diǎn)E是PC的中點(diǎn),∴PA∥EO
∵EO平面BDE,PA平面BDE
∴PA∥平面BDE.
(2)PD⊥底面ABCD,BC底面ABCD
∴PD⊥BC
∵底面ABCD是矩形,∴CD⊥BC
∵PD∩CD=D,PD,CD平面PDC
∴BC⊥平面PDC
∵DE平面PDC,∴BC⊥DE
∵PD=DC,E是PC的中點(diǎn),∴DE⊥PC
∵PC∩BC=C,PC 平面PBC,BC 平面PBC
∴DE⊥平面PBC,PB平面PBC
∴DE⊥PB
又∵EF⊥PB,DE∩EF=E,DE平面DEF,EF平面DEF
∴PB⊥平面DEF.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,已知⊙O的半徑是1,點(diǎn)C在直徑AB的延長(zhǎng)線上,BC=1,點(diǎn)P是⊙O上半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),以PC為邊作等邊三角形PCD,且點(diǎn)D與圓心分別在PC的兩側(cè).
(1)若∠POB=θ,試將四邊形OPDC的面積y表示為關(guān)于θ的函數(shù);
(2)求四邊形OPDC面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知某射擊運(yùn)動(dòng)員,每次擊中目標(biāo)的概率都是0.8.現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員射擊4次至少擊中3次的概率:先由計(jì)算器算出0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),指定0,1表示沒(méi)有擊中目標(biāo),2,3,4,5,6,7,8,9表示擊中目標(biāo);因?yàn)樯鋼?/span>4次,故以每4個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組,代表射擊4次的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù):
5727 0293 7140 9857 0347
4373 8636 9647 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011
3661 9597 7424 6710 4281
據(jù)此估計(jì),該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊4次至少擊中3次的概率為_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),以O為圓心的圓與直線相切.
(1)求圓O的方程.
(2)直線與圓O交于A,B兩點(diǎn),在圓O上是否存在一點(diǎn)M,使得四邊形為菱形?若存在,求出此時(shí)直線l的斜率;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在對(duì)人們的休閑方式的一次調(diào)查中,共調(diào)查了124人,其中女性70人,男性54人.女性中有43人主要的休閑方式是看電視,另外27人主要的休閑方式是運(yùn)動(dòng);男性中有21人主要的休閑方式是看電視,另外33人主要的休閑方式是運(yùn)動(dòng).
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個(gè)2×2的列聯(lián)表;并估計(jì),以運(yùn)動(dòng)為主的休閑方式的人的比例;
(2)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025的前提下,認(rèn)為性別與休閑方式有關(guān)系?
附表:
P(K2≥k0) | 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
K2.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在半徑為常量,圓心角為變量的扇形內(nèi)作一內(nèi)切圓,再在扇形內(nèi)作一個(gè)與扇形兩半徑相切并與圓外切的小圓,設(shè)圓的半徑為,則的半徑為.
(1)求的取值范圍;
(2)求圓面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知關(guān)于的方程在上恰有3個(gè)解,存在,使不等式成立.
(1)若為真命題,求正數(shù)的取值范圍;
(2)若為真命題,且為假命題,求正數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)若函數(shù)恰有一個(gè)極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)當(dāng),且時(shí),證明:.(常數(shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),且函數(shù)為偶函數(shù)。
(1)求的解析式;
(2)若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)m的取值范圍。
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