Question

在單調(diào)遞減的等比數(shù)列{a_n}中，a₁=

1

16

，若

5

4

a₂是a₁，a₃的等差中項(xiàng)．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n，求數(shù)列{

1

bn

}的前項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）設(shè)出等比數(shù)列的公比，由

5

4

a₂是a₁，a₃的等差中項(xiàng)列式求得等比數(shù)列的公比q，則等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求；
（Ⅱ）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求出b_n，取倒數(shù)后由裂項(xiàng)相消法求得數(shù)列{

1

bn

}的前項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)單調(diào)遞減的等比數(shù)列{a_n}的公比為q（q＜1），
由a₁=

1

16

，且

5

4

a₂是a₁，a₃的等差中項(xiàng)，得

5

2

×

1

16

q=

1

16

+

1

16

q2，
解得：q=2（舍）或q=

1

2

．
∴an=

1

16

×(

1

2

)n-1=

1

2n+3

；
（Ⅱ）b_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n
=log2(a1a2…an)=log2

1

24+5+…+(n+3)

=log22-

n(n+7)

2

=-

n(n+7)

2

．
∴

1

bn

=-

2

n(n+7)

=-

2

7

(

1

n

-

1

n+7

)．
則T_n=-

2

7

(1-

1

8

+

1

2

-

1

9

+…+

1

n

-

1

n+7

)=-

2

7

(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

7

-

1

n+1

-

1

n+2

-…-

1

n+7

)
=-

363

40

+

2

7

(

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

n+7

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題．