【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,點E為棱PC的中點.
(Ⅰ)證明:BE⊥DC;
(Ⅱ)求直線BE與平面PBD所成角的正弦值;
(Ⅲ)若F為棱PC上一點,滿足BF⊥AC,求二面角F﹣AB﹣P的余弦值.

【答案】證明:(I)∵PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,
以A為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,

∵AD=DC=AP=2,AB=1,點E為棱PC的中點.
∴B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(1,1,1)
=(0,1,1), =(2,0,0)
=0,
∴BE⊥DC;
(Ⅱ)∵ =(﹣1,2,0), =(1,0,﹣2),
設(shè)平面PBD的法向量 =(x,y,z),
,得 ,
令y=1,則 =(2,1,1),
則直線BE與平面PBD所成角θ滿足:
sinθ= = =
故直線BE與平面PBD所成角的正弦值為
(Ⅲ)∵ =(1,2,0), =(﹣2,﹣2,2), =(2,2,0),
由F點在棱PC上,設(shè) =(﹣2λ,﹣2λ,2λ)(0≤λ≤1),
= + =(1﹣2λ,2﹣2λ,2λ)(0≤λ≤1),
由BF⊥AC,得 =2(1﹣2λ)+2(2﹣2λ)=0,
解得λ=
=(﹣ , ),
設(shè)平面FBA的法向量為 =(a,b,c),
,得
令c=1,則 =(0,﹣3,1),
取平面ABP的法向量 =(0,1,0),
則二面角F﹣AB﹣P的平面角α滿足:
cosα= = = ,
故二面角F﹣AB﹣P的余弦值為:
【解析】(I)以A為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,求出BE,DC的方向向量,根據(jù) =0,可得BE⊥DC;(II)求出平面PBD的一個法向量,代入向量夾角公式,可得直線BE與平面PBD所成角的正弦值;(Ⅲ)根據(jù)BF⊥AC,求出向量 的坐標,進而求出平面FAB和平面ABP的法向量,代入向量夾角公式,可得二面角F﹣AB﹣P的余弦值.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識,掌握已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點,所成的角為,則

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