Question

17．已知函數f（x）=e^x，g（x）=ln（x+a）．
（ I）若已知函數f（x）的圖象與g（x）圖象有一條通過坐標原點的公切線，求a的值；
（ II）當a≤2時，證明：f（x）＞g（x）．

Answer 1

分析 （I）求出f（x）的導數，設切點為（m，e^m），求得切線的斜率和切點，可得切線的方程；再設y=g（x）相切的切點為（x₀，y₀），求出導數和切線的斜率，解方程組可得a的值；
（II）當a≤2時，f（x）＞g（x）即證e^x-ln（x+a）≥0，分別通過圖象說明e^x≥x+1；ln（x+2）≤x+1，即可得證．

解答 解：（I）函數f（x）=e^x的導數為f′（x）=e^x，
設切點為（m，e^m），f′（m）=e^m=$\frac{{e}^{m}}{m}$，
解得m=1，
則f（1）=e，f′（1）=e，
易得f（x）=e^x過原點的公切線為y=ex，
故y=ex為g（x）=ln（x+a）的切線，
設切點為（x₀，y₀），則有：
$\left\{\begin{array}{l}{ln（{x}_{0}+a）=e{x}_{0}}\\{\frac{1}{{x}_{0}+a}=e}\end{array}\right.$，解得a=$\frac{2}{e}$；
（II）證明：當a≤2時，f（x）＞g（x）即證e^x-ln（x+a）≥0，
由y=e^x和直線y=x+1的圖象可得，e^x≥x+1；
由y=ln（x+2）和直線y=x+1的圖象可得，ln（x+2）≤x+1，
則e^x-ln（x+2）≥（x+1）-（x+1）=0，
可得e^x-ln（x+2）≥0，
即e^x≥ln（x+a），
則f（x）＞g（x）．

點評 本題考查導數的運用：求切線的方程，考查不等式的證明，注意運用不等式的性質，考查運算化簡能力，屬于中檔題．