Question

（本題滿分12分）已知橢圓E：（其中），直 線L與橢圓只有一個公共點T；兩條平行于y軸的直線分別過橢圓的左、右焦點F₁、F₂，且直線L分別相交于A、B兩點．

（Ⅰ）若直線L在軸上的截距為，求證：直線L斜率的絕對值與橢圓E的離心率相等；（Ⅱ）若的最大值為120⁰，求橢圓E的方程．

Answer 1

(Ⅰ) 見解析  (Ⅱ)  

法一：（1）設(shè)T（x₀，y₀），由對稱性，不妨設(shè)，∴，∴且；
∵直線L橢圓E只有一個公共點T，由橢圓E：得，求導
，∴直線L：，得；
∵直線L在軸上的截距為，令，得，∴；
∴直線L斜率的絕對值；
（2）直線L：與的交點，
設(shè)，在RTDF₁AF₂和RTDF₁BF₂中，
，當時，
 ；
∵且，∴，
∵最大值為120⁰，只需令，
∴，∴；∴∴橢圓E的方程為．
解法二：（1）依題意設(shè)直線L：，代入橢圓E：整理得：
（*），∵直線L橢圓E只有一個公共點T，
∴方程（*）的，
整理得：，①∵直線L在軸上的截距為，∴代入①得，∴；
（2）考慮對稱性，不妨設(shè)，由①得，直線L：與的交點，設(shè)，在RTDF₁AF₂和RTDF₁BF₂中，，由①得，
當時，
，∵且，
∴，
∵最大值為120⁰，只需令，∴；
∴∴橢圓E的方程為．