已知長(zhǎng)方形ABCD, AB=2, BC="1." 以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖8所示的平面直角坐標(biāo)系.
(Ⅰ)求以A、B為焦點(diǎn)，且過(guò)C、D兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)P(0,2)的直線交(Ⅰ)中橢圓于M,N兩點(diǎn),是否存在直線,使得以弦MN為直徑的圓恰好過(guò)原點(diǎn)?若存在,求出直線的方程;若不存在,說(shuō)明理由.
(Ⅰ) (Ⅱ)存在過(guò)P(0,2)的直線:使得以弦MN為直徑的圓恰好過(guò)原點(diǎn)
(Ⅰ)由題意可得點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別為.……1分
設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.……2分
則……4分
.……5分
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是……6分
(Ⅱ)由題意直線的斜率存在,可設(shè)直線的方程為.……7分
設(shè)M,N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
聯(lián)立方程: 
消去整理得,
有……9分
若以MN為直徑的圓恰好過(guò)原點(diǎn),則,所以,……10分
所以,,
即
所以,
即……11分  得……12分
所以直線的方程為,或.……13分
所以存在過(guò)P(0,2)的直線:使得以弦MN為直徑的圓恰好過(guò)原點(diǎn). ……14分
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知定圓圓心為A，動(dòng)圓M過(guò)點(diǎn)B(1,0)且和圓A相切，動(dòng)圓的圓心M的軌跡記為C.
（I）求曲線C的方程；
（II）若點(diǎn)為曲線C上一點(diǎn)，求證：直線與曲線C有且只有一個(gè)交點(diǎn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

（本題滿分12分）已知橢圓E：（其中），直 線L與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)T；兩條平行于y軸的直線分別過(guò)橢圓的左、右焦點(diǎn)F1、F2，且直線L分別相交于A、B兩點(diǎn)．

（Ⅰ）若直線L在軸上的截距為，求證：直線L斜率的絕對(duì)值與橢圓E的離心率相等；（Ⅱ）若的最大值為1200，求橢圓E的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知為橢圓的左右焦點(diǎn)，拋物線以為頂點(diǎn)，為焦點(diǎn)，設(shè)為橢圓與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)，橢圓離心率為，且,求的值

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓C: 的焦點(diǎn)為F1（0，c）、F2（0，一c）（c>0），拋物線的焦點(diǎn)與F1重合，過(guò)F2的直線l與拋物線P相切，切點(diǎn)在第一象限，且與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，且
（I）求證：切線l的斜率為定值；
（Ⅱ）若拋物線P與直線l及y軸圍成的圖形面積為，求拋物線P的方程；
（III）當(dāng)時(shí)，求橢圓離心率e的取值范圍。


 
 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知A．B是橢圓上兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，定點(diǎn)，向量．在向量方向上的投影分別是m．n ，且7mn ，動(dòng)點(diǎn)P滿足
（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)E的直線l與C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M．N，求的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

橢圓與直線交于，兩點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)與線段中點(diǎn)的直線的斜率為，則(   )
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

橢圓+y2=1中斜率為1的平行弦的中點(diǎn)的軌跡方程是_________________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

若橢圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且焦點(diǎn)F1（1，0），F(xiàn)2­（3，0），則其離心率為�。�  ）
A．B．C．D．

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