Question

12．如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，長為1的線段MN的一個端點M在棱DD₁上運(yùn)動，點N在正方形ABCD內(nèi)運(yùn)動，則MN中點P的軌跡的面積為（　　）

• A． $\frac{π}{2}$
• B． $\frac{π}{16}$
• C． $\frac{π}{8}$
• D． $\frac{π}{4}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，連接N點與D點，得到一個直角三角形△NMD，P為斜邊MN的中點，所以|PD|的長度不變，進(jìn)而得到點P的軌跡是球面的一部分．

解答 解：如圖可得，端點N在正方形ABCD內(nèi)運(yùn)動，連接N點與D點，
由ND，DM，MN構(gòu)成一個直角三角形，
設(shè)P為MN的中點，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線長度為斜邊的一半可得：
不論△MDN如何變化，P點到D點的距離始終等于$\frac{1}{2}$．
故P點的軌跡是一個以D為中心，半徑為$\frac{1}{2}$的球的$\frac{1}{8}$球面．
所以MN中點P的軌跡的面積為$\frac{π}{8}$，
故選：C．

點評 解決此類問題的關(guān)鍵是熟悉結(jié)合體的結(jié)構(gòu)特征與球的定義以及其表面積的計算公式．