Question

19．以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，且兩個(gè)坐標(biāo)系取相等的長度單位建立坐標(biāo)系，已知直線l的極坐標(biāo)方程為2ρcosθ+ρsinθ=3，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=3sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）．
（Ⅰ）求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）P（1，1），設(shè)直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （I）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=3sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），利用cos²α+sin²α=1可得普通方程．把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入直線l的極坐標(biāo)方程為2ρcosθ+ρsinθ=3，可得直角坐標(biāo)方程．
（II）由于P（1，1）在直線l上，可得直線l的參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{1}{\sqrt{5}}t}\\{y=1+\frac{2}{\sqrt{5}}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入橢圓方程可得：$5{t}^{2}-\frac{2}{\sqrt{5}}t$-23=0，利用|PA|•|PB|=|t₁t₂|即可得出．

解答 解：（I）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=3sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），利用cos²α+sin²α=1可得普通方程：$\frac{{y}^{2}}{9}+\frac{{x}^{2}}{4}$=1．
由直線l的極坐標(biāo)方程為2ρcosθ+ρsinθ=3，可得直角坐標(biāo)方程：2x+y-3=0．
（II）由于P（1，1）在直線l上，可得直線l的參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{1}{\sqrt{5}}t}\\{y=1+\frac{2}{\sqrt{5}}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入橢圓方程可得：$5{t}^{2}-\frac{2}{\sqrt{5}}t$-23=0，
∴t₁t₂=-$\frac{23}{5}$，∴|PA|•|PB|=|t₁t₂|=$\frac{23}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化、橢圓的參數(shù)方程與直線參數(shù)方程的應(yīng)用、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．