Question

9．已知函數(shù)f（x）=sin（$\frac{π}{2}$+x）cosx-sinxcos（3π-x）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，已知A為銳角，f（A）=1，BC=2，B=$\frac{π}{6}$，求AC邊的長．

Answer 1

分析 （1）利用誘導公式、二倍角公式及輔助角公式求得f（x）的解析式，根據(jù)周期公式求得函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）f（A）=1，即sinAcosA=1-cos²A=sin²A，求得A=$\frac{π}{4}$，由正弦定理即可求得AC邊的長．

解答 解：（1）由題設知f（x）=sin（$\frac{π}{2}$+x）cosx-sinxcos（3π-x）
=cos²x-sinxcosx
=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$sin2x
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$
由T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{2}$=π，
函數(shù)f（x）的最小正周期π；  …（6分）
（2）∵f（A）=cos²A-sinAcosA=1，
∴sinAcosA=1-cos²A=sin²A，
∵A為銳角，sinA≠0，
∴sinA=cosA，
∴A=$\frac{π}{4}$，…（9分）
由正弦定理可知：$\frac{AC}{sinB}$=$\frac{BC}{sinA}$，即 $\frac{AC}{{sin\frac{π}{6}}}=\frac{2}{{sin\frac{π}{4}}}$，
解得：AC=$\sqrt{2}$，
∴AC邊的長$\sqrt{2}$．…（12分）

點評 本題考查誘導公式、二倍角公式、同角三角函數(shù)間的基本關系綜合應用及特殊角的三角函數(shù)值化簡求值，會利用正弦定理解決實際問題，屬于中檔題．