Question

【題目】已知由自然數(shù)組成的元集合，非空集合,且對(duì)任意的，都有.

(1)當(dāng)時(shí)，求所有滿足條件的集合;

(2)當(dāng)時(shí)，求所有滿足條件的集合的元素總和;

(3)定義一個(gè)集合的“交替和”如下：按照遞減的次序重新排列該集合的元素，然后從最大數(shù)開(kāi)始交替地減、加后繼的數(shù).例如集合的交替和是，集合的交替和為.當(dāng)時(shí)，求所有滿足條件的集合的“交替和”的總和.

Answer 1

【答案】（1），，；（2）；（3）

【解析】

（1）確定后可知有偶數(shù)個(gè)元素，分別討論兩個(gè)元素和四個(gè)元素的情況即可得到結(jié)果；

（2）確定可知有偶數(shù)個(gè)元素，分別在兩個(gè)、四個(gè)、六個(gè)和八個(gè)元素的情況下求解元素之和，加和得到結(jié)果；

（3）由、和時(shí)交替和總和的規(guī)律可得到當(dāng)時(shí)，交替和總和為，代入即可求得結(jié)果.

（1）當(dāng)時(shí)，

是的非空子集，且時(shí)， 中有偶數(shù)個(gè)元素

中有兩個(gè)元素時(shí)，或中有四個(gè)元素時(shí)，

所有滿足條件的集合有：，，

（2）當(dāng)時(shí)，

是的非空子集，且時(shí)， 中有偶數(shù)個(gè)元素

當(dāng)中有兩個(gè)元素時(shí)，元素之和為：

當(dāng)中有四個(gè)元素時(shí)，元素之和為：

當(dāng)中有六個(gè)元素時(shí)，元素之和為：

當(dāng)中有八個(gè)元素時(shí)，元素之和為：

所有滿足條件的集合的元素總和為：

（3）當(dāng)，，交替和的總和為：

當(dāng)時(shí)，由（1）知，交替和的總和為：

當(dāng)時(shí)，或或或或或或，交替和的總和為：

……以此類推，當(dāng)時(shí)，交替和的總和為：

當(dāng)時(shí)， 所求交替和的總和為：