【題目】如圖,曲線C1是以原點O為中心,F(xiàn)1,F(xiàn)2為焦點的橢圓的一部分曲線C2是以O(shè)為頂點,F(xiàn)2為焦點的拋物線的一部分,A是曲線C1和C2的交點且AF2F1為鈍角,若|AF1|=,|AF2|=

(1)求曲線C1和C2的方程;

(2)設(shè)點C是C2上一點,若|CF1|=|CF2|,求CF1F2的面積

【答案】(1)曲線C1的方程為=1(-3≤x≤),曲線C2的方程為y2=4x(0≤x≤)

(2)2

【解析】(1)設(shè)橢圓方程為=1(a>b>0),則2a=|AF1|+|AF2|==6,得a=3

設(shè)A(x,y),F(xiàn)1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),則(x+c)2+y2=()2,(x-c)2+y2=()2,兩式相減得xc=由拋物線的定義可知|AF2|=x+c=

則c=1,x=或x=1,c=AF2F1為鈍角,

則x=1,c=不合題意,舍去當(dāng)c=1時,b=2,

所以曲線C1的方程為=1(-3≤x≤),曲線C2的方程為y2=4x(0≤x≤)

(2)過點F1作直線l垂直于x軸,過點C作CC1l于點C1,依題意知|CC1|=|CF2|

在RtCC1F1中,|CF1|=|CF2|=|CC1|,所以C1CF1=45°,

所以CF1F2C1CF1=45°

CF1F2中,設(shè)|CF2|=r,則|CF1|=r,|F1F2|=2

由余弦定理得22+(r)2-2×2×rcos45°=r2

解得r=2,

所以CF1F2的面積SCF1F2|F1F2|·|CF1|sin45°=×2×2sin45°=2

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