Question

12．若a＞0，b＞0，求證：$\frac{a+b}{2}$≤$\sqrt{\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{2}}$．

Answer 1

分析 運(yùn)用分析法證明，平方后整理即證a²+b²≥2ab，由完全平方式非負(fù)，即可得證．

解答 證明：運(yùn)用分析法證明．
由于a＞0，b＞0，要證$\frac{a+b}{2}$≤$\sqrt{\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{2}}$，
即證（$\frac{a+b}{2}$）²≤$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}$，
即證a²+b²+2ab≤2a²+2b²，
即a²+b²≥2ab，
即（a-b）²≥0，顯然成立．
故$\frac{a+b}{2}$≤$\sqrt{\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，運(yùn)用分析法證明，考查運(yùn)算能力和推理能力，屬于基礎(chǔ)題．