Question

12．已知函數(shù)f（x）=2lnx-$\frac{1}{2}$mx²-（1-2m）x，m∈R．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（2，-1），求實(shí)數(shù)m的值；
（Ⅱ）當(dāng)m＞-$\frac{1}{2}$時(shí)，討論函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線(xiàn)的斜率和切點(diǎn)，運(yùn)用點(diǎn)斜式方程可得切線(xiàn)的方程，代入A的坐標(biāo)，解方程可得m的值；
（Ⅱ）求出f′（x）=$\frac{2}{x}$-mx-（1-2m）=$\frac{（x-2）（-mx-1）}{x}$，x＞0，討論：當(dāng)m≥0時(shí)，當(dāng)$-\frac{1}{2}＜m＜0$，求得單調(diào)區(qū)間和極值，討論極值符號(hào)，即可得到所求零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答 解：（Ⅰ）f（x）定義域?yàn)椋?，+∞）
導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{2}{x}$-mx-（1-2m），
可得切線(xiàn)的斜率為f′（1）=m+1，且$f（1）=\frac{3m}{2}-1$，
所求切線(xiàn)方程 $y-（\frac{3m}{2}-1）=（m+1）（{x-1}）$，
將點(diǎn)（2，-1）代入切線(xiàn)方程，可得-$\frac{3}{2}$m=1+m，
得 $m=-\frac{2}{5}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f′（x）=$\frac{2}{x}$-mx-（1-2m）=$\frac{（x-2）（-mx-1）}{x}$，x＞0，
當(dāng)m≥0時(shí)，-mx-1＜0恒成立，
所以x＞2時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（2，+∞）是增函數(shù)；
當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（0，2）是減函數(shù)，
f（x）極小值f（2）=2ln2+2m-2；
當(dāng)f（2）＞0，即m＞1-ln2時(shí)，f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)f（2）=0，即m=1-ln2時(shí)，f（x）有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)f（2）＜0，0≤m＜1-ln2時(shí)，f（x）無(wú)零點(diǎn)；
當(dāng)m＜0，f′（x）=0，得x₁=2，${x_2}=-\frac{1}{m}$
當(dāng)$-\frac{1}{2}＜m＜0$，f（x）分別在$（-\frac{1}{m}，+∞）$，（0，2）是增函數(shù)，
f（x）在$（2，-\frac{1}{m}）$是減函數(shù)，
f（x）極小值f（2）=2ln2+2m-2＜0，f（x）至多一個(gè)零點(diǎn)．
又y=2lnx是增函數(shù)，$y=-\frac{1}{2}m{x^2}-（1-2m）x$是開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)，
所以f（x）必有正值，即f（x）在$-\frac{1}{2}＜m＜0$有唯一零點(diǎn)；
綜上，m＞1-ln2時(shí)，f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)；
m=1-ln2或$-\frac{1}{2}＜m＜0$時(shí)，f（x）有一個(gè)零點(diǎn)；
0≤m＜1-ln2，f（x）沒(méi)有零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線(xiàn)的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，注意運(yùn)用分類(lèi)討論的思想方法，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．