Question

20．已知函數(shù)f（x）=xe^x-k（x+1）²，（k∈R）
（1）k=$\frac{e}{2}$時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若f（x）在R上只有一個零點，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負，可得f（x）的單調(diào)區(qū)間，從而得到函數(shù)的極值；
（2）若f（x）在R上只有一個零點，分類討論，取得函數(shù)的單調(diào)性，即可求k的取值范圍．

解答 解：（1）k=$\frac{e}{2}$時，f（x）=xe^x-$\frac{e}{2}$（x+1）²，
∴f′（x）=（e^x-e）（x+1），
令f′（x）=（e^x-e）（x+1）＞0，可得x＜-1或x＞0，f′（x）=（e^x-e）（x+1）＜0，可得-1＜x＜0，
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-1），（0，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（-1，0），
∴x=-1時，函數(shù)取得極大值f（-1）=-$\frac{1}{e}$，x=0時，函數(shù)取得極小值f（0）=-$\frac{e}{2}$；
（2）f′（x）=（e^x-2k）（x+1），
若k≤0，f′（x）=（e^x-2k）（x+1）＞0，可得x＜-1，f′（x）=（e^x-2k）（x+1）＜0，可得x＞-1，
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-1），單調(diào)遞減區(qū)間是（-1，+∞），
∴x=-1時，函數(shù)取得極大值f（-1）=-$\frac{1}{e}$＜0，函數(shù)無零點；
若k＞0，f′（x）=（e^x-2k）（x+1）=0，可得x=-1或x=ln2k，
∴函數(shù)的極值點是-1，ln2k，
∵f（x）在R上只有一個零點，f（-1）=-$\frac{1}{e}$＜0，
∴f（ln2k）＜0，
∴2kln2k-k（ln2k+1）²＜0，
∴l(xiāng)n²2k+1＞0恒成立，
綜上所述，k＞0．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查函數(shù)的零點，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．