Question

9．α為銳角，若cos（α+$\frac{π}{6}}$）=$\frac{4}{5}$，則sin（$\frac{2π}{3}-2α}$）=$\frac{24}{25}$．

Answer 1

分析 利用二倍角公式求得cos2（α+$\frac{π}{6}}$）的值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得sin（2α+$\frac{π}{3}$）的值，再利用誘導(dǎo)公式求得sin（$\frac{2π}{3}-2α}$）的值．

解答 解：α為銳角，∵cos（α+$\frac{π}{6}}$）=$\frac{4}{5}$，∴α+$\frac{π}{6}$為銳角，
∵cos2（α+$\frac{π}{6}$）=cos（2α+$\frac{π}{3}$）=2${cos}^{2}（α+\frac{π}{6}）$-1=$\frac{7}{25}$，∴2α+$\frac{π}{3}$也是銳角，
∴sin（2α+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{{1-cos}^{2}（2α+\frac{π}{3}）}$=$\frac{24}{25}$，
sin（$\frac{2π}{3}-2α}$）=sin[π-（2α+$\frac{π}{3}$）]=sin（2α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{24}{25}$，
故答案為：$\frac{24}{25}$．

點評 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式、兩角差的余弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．