Question

定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f（x），對任意x，y∈R，有f（x-y）+f（x+y）=2f（x）f（y），且f（0）≠0．
求證：f（x）是偶函數(shù)．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令x=y=0代入表達式，可得f（0）=1．再令x=0，y不變，即可獲得f（-y）與f（y）之間的關(guān)系，從而獲得函數(shù)的奇偶性．

解答： 證明：令x=y=0，則有f（0）+f（0）=2f（0）•f（0），
即2f（0）=2f（0）•f（0），
由于f（0）≠0，
即有f（0）=1．
令x=0，y=t，
則有f（t）+f（-t）=2f（0）f（t），
即有f（t）+f（-t）=2f（t），
即f（-t）=f（t），
即為f（-x）=f（x）．
故y=f（x）是偶函數(shù)．

點評：本題考查的是抽象函數(shù)及其應(yīng)用類問題．在解答的過程當中充分體現(xiàn)了抽象表達式的應(yīng)用能力、特值的問題處理技巧以及必要的計算能力．同時函數(shù)的奇偶性定義也在題目中得到了體現(xiàn)．值得同學們體會和反思．