【題目】已知實數(shù),定義域為的函數(shù)是偶函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)求實數(shù)值;
(Ⅱ)判斷該函數(shù)在上的單調(diào)性并用定義證明;
(Ⅲ)是否存在實數(shù),使得對任意的,不等式恒成立.若存在,求出實數(shù)的取值范圍;若不存在,請說明理由.
【答案】(Ⅰ)1;(Ⅱ)在上遞增,證明詳見解析;(Ⅲ)不存在.
【解析】
(Ⅰ)根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù),得到恒成立,即恒成立,進而得到,即可求出結(jié)果;
(Ⅱ)任取,且,根據(jù)題意,作差得到,進而可得出函數(shù)單調(diào)性;
(Ⅲ)由(Ⅱ)知函數(shù)在上遞增,由函數(shù)是偶函數(shù),所以函數(shù)在上遞減,再由題意,不等式恒成立可化為恒成立,即對任意的恒成立,根據(jù)判別式小于0,即可得出結(jié)果.
(Ⅰ)因為定義域為的函數(shù)是偶函數(shù),則恒成立,
即,故恒成立,
因為不可能恒為,所以當時, 恒成立,
而,所以.
(Ⅱ)該函數(shù)在上遞增,證明如下
設(shè)任意,且,則
,因為,所以,且;
所以,即,即;
故函數(shù)在上遞增.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知函數(shù)在上遞增,而函數(shù)是偶函數(shù),則函數(shù)在上遞減.若存在實數(shù),使得對任意的,不等式恒成立.則恒成立,即,
即對任意的恒成立,
則,得到,故,
所以不存在.
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【題目】
如圖,在四面體中,點分別是棱的中點.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求證:四邊形為矩形;
(Ⅲ)是否存在點,到四面體六條棱的中點 的距離相等?說明理由.
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【題目】(12分)
已知函數(shù).
(1)當時,判斷函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)處取得極大值,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】以直角坐標系的原點為極點,以軸的正半軸為極軸,且兩個坐標系取相等的長度單位,已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù),),曲線的極坐標方程為.
(1)若,求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程;
(2)設(shè)直線與曲線相交于,兩點,當變化時,求的最小值.
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【題目】某同學在研究函數(shù)時,給出下面幾個結(jié)論中正確的有( )
A.的圖象關(guān)于點對稱B.若,則
C.的值域為D.函數(shù)有三個零點
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【題目】△ABC中,角A,B,C對邊的邊長分別是a,b,c,且a(cosB+cosC)=b+c.
(1)求證:A;
(2)若△ABC外接圓半徑為1,求△ABC周長的取值范圍.
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【題目】某公司為了適應市場需求對產(chǎn)品結(jié)構(gòu)做了重大調(diào)整,調(diào)整后初期利潤增長迅速,之后增長越來越慢,若要建立恰當?shù)暮瘮?shù)模型來反映該公司調(diào)整后利潤與時間的關(guān)系,可選用
A.一次函數(shù)B.二次函數(shù)
C.指數(shù)型函數(shù)D.對數(shù)型函數(shù)
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【題目】國慶期間,某旅行社組團去風景區(qū)旅游,若旅行團人數(shù)在30人或30人以下,每人需交費用為900元;若旅行團人數(shù)多于30人,則給予優(yōu)惠:每多1人,人均費用減少10元,直到達到規(guī)定人數(shù)75人為止.旅行社需支付各種費用共計15000元.
(1)寫出每人需交費用關(guān)于人數(shù)的函數(shù);
(2)旅行團人數(shù)為多少時,旅行社可獲得最大利潤?
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【題目】在吸煙與患肺病是否相關(guān)的判斷中,有下面的說法:
(1)從獨立性分析可知在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下,認為吸煙與患肺病有關(guān)系時,是指有的可能性使得推斷錯誤.
(2)從獨立性分析可知在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下,認為吸煙與患肺病有關(guān)系時,若某人吸煙,則他有的可能患有肺;
(3)若,則在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下,認為吸煙與患肺病有關(guān)系,那么在100個吸煙的人中必有99人患有肺;
其中說法正確的是________.
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