Question

17．拋物線y²=4x的準(zhǔn)線與x軸交于A點(diǎn)，焦點(diǎn)是F，P是位于x軸上方的拋物線上的任意一點(diǎn)，令m=$\frac{{|{PF}|}}{{|{PA}|}}$，當(dāng)m取得最小值時(shí)，PA的斜率是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 已知F為拋物線y²=4x的焦點(diǎn)，P（x，y）是該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A是拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，得到PA和拋物線相切時(shí)m=$\frac{{|{PF}|}}{{|{PA}|}}$最�。�

解答 解：由題意可得，焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線方程為x=-1．
過點(diǎn)P作PM垂直于準(zhǔn)線，M為垂足，
由拋物線的定義可得|PF|=|PM|，
則$\frac{{|{PF}|}}{{|{PA}|}}$=$\frac{|PM|}{|PA|}$=sin∠PAM，∠PAM為銳角．
故當(dāng)∠PAM最小時(shí)，則m=$\frac{{|{PF}|}}{{|{PA}|}}$最小，故當(dāng)PA和拋物線相切時(shí)，m=$\frac{{|{PF}|}}{{|{PA}|}}$最小，
可設(shè)切線方程為y=k（x+1）與y²=4x聯(lián)立，消去x，得ky²-4y+4k=0，
所以△=16-16k²=0，
所以k=1或-1，從而PA的斜率為±1，
∵P是位于x軸上方的拋物線上的任意一點(diǎn)，
∴PA的斜率為1
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查拋物線的定義、性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，直線的斜率公式、利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．