Question

【題目】已知函數(shù)ae2x+(a﹣2) ex﹣x.

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）討論單調(diào)性，首先進(jìn)行求導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)式子特點(diǎn)后要及時(shí)進(jìn)行因式分解，再對按， 進(jìn)行討論，寫出單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)第（1）問，若， 至多有一個(gè)零點(diǎn).若，當(dāng)時(shí)， 取得最小值，求出最小值，根據(jù)， ， 進(jìn)行討論，可知當(dāng)時(shí)有2個(gè)零點(diǎn).易知在有一個(gè)零點(diǎn)；設(shè)正整數(shù)滿足，則.由于，因此在有一個(gè)零點(diǎn).從而可得的取值范圍為.

試題解析：（1）的定義域?yàn)?/span>， ，

（ⅰ）若，則，所以在單調(diào)遞減.

（ⅱ）若，則由得.

當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

（2）（ⅰ）若，由（1）知， 至多有一個(gè)零點(diǎn).

（ⅱ）若，由（1）知，當(dāng)時(shí)， 取得最小值，最小值為.

①當(dāng)時(shí)，由于，故只有一個(gè)零點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，由于，即，故沒有零點(diǎn)；

③當(dāng)時(shí)， ，即.

又，故在有一個(gè)零點(diǎn).

設(shè)正整數(shù)滿足，則.

由于，因此在有一個(gè)零點(diǎn).

綜上， 的取值范圍為.

點(diǎn)睛:研究函數(shù)零點(diǎn)問題常常與研究對應(yīng)方程的實(shí)根問題相互轉(zhuǎn)化.已知函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)求參數(shù)a的取值范圍，第一種方法是分離參數(shù)，構(gòu)造不含參數(shù)的函數(shù)，研究其單調(diào)性、極值、最值，判斷與其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而求出a的取值范圍；第二種方法是直接對含參函數(shù)進(jìn)行研究，研究其單調(diào)性、極值、最值，注意點(diǎn)是若有2個(gè)零點(diǎn)，且函數(shù)先減后增，則只需其最小值小于0，且后面還需驗(yàn)證最小值兩邊存在大于0的點(diǎn).