Question

若S_n和T_n分別表示數(shù)列{a_n}和{b_n}的前n項(xiàng)和，對(duì)任意正整數(shù)n，有a_n=-

2n+3

2

，4T_n-12S_n=13n．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=b_n+

5

4

，若

1

c1c2

+

1

c2c3

+…+

1

cncn+1

＞

11

100

，求n的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用公式法，兩式作差即可解得結(jié)論；
（2）利用裂項(xiàng)相消法求得

1

c1c2

+

1

c2c3

+…+

1

cncn+1

=

1

9

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=

1

9

（1-

1

n+1

）=

n

9(n+1)

．令  

n

9(n+1)

＞

11

100

解得即可．

解答： 解析：（1）當(dāng)n≥2，n∈N^*時(shí)：

4Tn-12sn=13n 4Tn-1-12sn-1=13(n-1)

，
兩式相減得：4b_n-12a_n=13，∴b_n=3a_n+

13

4

=-3n-

5

4

，
又b₁=-

17

4

也適合上式，∴數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為bn=-3n-

5

4

．
（2）由（1）得 c_n=-3n，
于是  

1

cncn+1

=

1

9n(n+1)

=

1

9

（

1

n

-

1

n+1

），
所以  

1

c1c2

+

1

c2c3

+…+

1

cncn+1

=

1

9

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=

1

9

（1-

1

n+1

）=

n

9(n+1)

．
令  

n

9(n+1)

＞

11

100

，得n＞99．
所以n的最小值為100．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法及利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和等知識(shí)，考查學(xué)生的等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用能力及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．