Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{3}$-cos$\frac{x}{3}$．
（1）求函數(shù)f（x）的對(duì)稱(chēng)軸方程及相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸間的距離d；
（2）設(shè)α、β∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（3α+$\frac{π}{2}$）=$\frac{10}{13}$，f（3β+2π）=$\frac{6}{5}$，求cos（α+β）的值．

Answer 1

分析 （1）化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式，利用正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)求出f（x）圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程以及相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸間的距離d；
（2）由題意求出sinα、cosα和cosβ、sinβ的值，再計(jì)算cos（α+β）的值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{3}$-cos$\frac{x}{3}$=2sin（$\frac{x}{3}$-$\frac{π}{6}$）；
令$\frac{x}{3}$-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得x=3kπ+2π，k∈Z，
∴f（x）圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程是x=3kπ+2π，k∈Z；
且相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸間的距離d=（3π+2π）-2π=3π；
（2）由α、β∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（3α+$\frac{π}{2}$）=2sinα=$\frac{10}{13}$，
∴sinα=$\frac{5}{13}$，cosα=$\frac{12}{13}$；
f（3β+2π）=2sin（β+$\frac{π}{2}$）=2cosβ=$\frac{6}{5}$，
∴cosβ=$\frac{3}{5}$，sinβ=$\frac{4}{5}$；
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=$\frac{12}{13}$×$\frac{3}{5}$-$\frac{5}{13}$×$\frac{4}{5}$=$\frac{16}{65}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了同角的三角函數(shù)關(guān)系與兩角和的余弦公式應(yīng)用問(wèn)題．