Question

16．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（$\sqrt{3}$，0），且過點(diǎn)（-$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線l與以原點(diǎn)O為圓心，OF為半徑的圓相切，交橢圓C于不同的兩點(diǎn)A，B，求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）由題意可得：c=$\sqrt{3}$，$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{4^{2}}$=1，a²=b²+c²，聯(lián)立解出即可得出．
（II）以原點(diǎn)O為圓心，OF為半徑的圓的方程為：x²+y²=3．設(shè)圓的切線l的方程為：my=x+t，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．利用直線與圓相切的充要條件可得：$\frac{|t|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$=$\sqrt{3}$．直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為：（m²+4）y²-2mty+t²-4=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)可得：$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\frac{11{m}^{2}+11}{{m}^{2}+4}$，整理用戶數(shù)的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（I）由題意可得：c=$\sqrt{3}$，$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{4^{2}}$=1，a²=b²+c²，
聯(lián)立解得：a=2，b=1．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（II）以原點(diǎn)O為圓心，OF為半徑的圓的方程為：x²+y²=3．
設(shè)圓的切線l的方程為：my=x+t，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
則$\frac{|t|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$=$\sqrt{3}$，化為：t²=3（m²+1）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{my=x+t}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化為：（m²+4）y²-2mty+t²-4=0，
∴y₁+y₂=$\frac{2mt}{{m}^{2}+4}$，y₁y₂=$\frac{{t}^{2}-4}{{m}^{2}+4}$．
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（my₁-t）（my₂-t）+y₁y₂=（m²+1）y₁y₂-mt（y₁+y₂）+t²=$\frac{（{m}^{2}+1）（{t}^{2}-4）}{{m}^{2}+4}$-$\frac{2{m}^{2}{t}^{2}}{{m}^{2}+4}$+t²=$\frac{5{t}^{2}-4{m}^{2}-4}{{m}^{2}+4}$=$\frac{11{m}^{2}+11}{{m}^{2}+4}$=11-$\frac{33}{{m}^{2}+4}$∈$[\frac{11}{4}，11）$．
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的取值范圍是$[\frac{11}{4}，11）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、直線與圓相切的充要條件，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．