Question

8．已知中心在原點(diǎn)O的橢圓左，右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，F(xiàn)₂（1，0），且橢圓過點(diǎn)（1，$\frac{3}{2}$）．
（1）求橢圓的方程；
（2）過F₂的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，則△F₁AB的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及此時的直線方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）方法一、求得c=1，將已知點(diǎn)代入橢圓方程，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
方法二、運(yùn)用橢圓的定義，結(jié)合兩點(diǎn)的距離公式，求得a=2，再由a，b，c的關(guān)系，可得b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），不妨設(shè)y₁＞0，y₂＜0，設(shè)△F₁AB的內(nèi)切圓的半徑R，可得三角形的面積為4R，可設(shè)直線l的方程為x=my+1，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，再由三角形的面積公式，化簡整理，運(yùn)用換元法和對勾函數(shù)的單調(diào)性，即可得到所求最大值及此時直線的方程．

解答 解：（1）法一：由題意可設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）．
由題意可得c=1，即a²-b²=1，
將（1，$\frac{3}{2}$）代入橢圓方程可得$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{4^{2}}$=1，
解得a=2，b=$\sqrt{3}$，
可得橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
法二：直接用橢圓的定義，由橢圓的焦點(diǎn)為（-1，0），（1，0）
且過（1，$\frac{3}{2}$），可得
$2a=\sqrt{{{（1-1）}^2}+{{（0-\frac{3}{2}）}^2}}+\sqrt{{{（1+1）}^2}+{{（0-\frac{3}{2}）}^2}}=4$，
即a=2，c=1，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
得到橢圓方程為為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），不妨設(shè)y₁＞0，y₂＜0，
設(shè)△F₁AB的內(nèi)切圓的半徑R，
由橢圓的定義可得△F₁AB的周長為4a=8，
可得${S_{△{F_1}AB}}=\frac{1}{2}（|{AB}|+|{{F_1}A}|+|{{F_1}B}|）R=4R$，
因此△F₁AB面積最大，R就最大，
由題知，直線l的斜率不為零，
可設(shè)直線l的方程為x=my+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$得（4+3m²）y²+6my-9=0，
得y₁+y₂=-$\frac{6m}{4+3{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{9}{4+3{m}^{2}}$，
則S${\;}_{△{F}_{1}AB}$=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•（y₁-y₂）=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{\frac{36{m}^{2}}{（4+3{m}^{2}）^{2}}+\frac{36}{4+3{m}^{2}}}$
=$\frac{12\sqrt{1+{m}^{2}}}{4+3{m}^{2}}$，
令t=$\sqrt{1+{m}^{2}}$，則m²=t²-1，
代入得$\frac{12t}{3{t}^{2}+1}$=$\frac{12}{3t+\frac{1}{t}}$≤$\frac{12}{3+1}$=3，
即當(dāng)t=1，m=0時，S${\;}_{△{F}_{1}AB}$≤3，又因為S${\;}_{△{F}_{1}AB}$=4R，
所以R_max=$\frac{3}{4}$，這時所求內(nèi)切圓面積的最大值為πR²=$\frac{9π}{16}$，
故存在直線方程為x=1，
△F₁AB內(nèi)切圓面積的最大值為$\frac{9π}{16}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用橢圓的定義和點(diǎn)滿足橢圓方程，考查存在性問題的解法，求三角形的面積的最值，注意運(yùn)用聯(lián)立直線方程和橢圓方程，韋達(dá)定理以及換元法和對勾函數(shù)的單調(diào)性，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．