Question

9．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若a=2，c=2b，則△ABC的面積的最大值為$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 a=2，c=2b，利用余弦定理可得：cosA=$\frac{5^{2}-2}{4^{2}}$，sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$．代入△ABC的面積S=$\frac{1}{2}bc$sinA，再利用二次函數的單調性即可得出．

解答 解：∵a=2，c=2b，
∴2²=4b²+b²-4b²cosA，
可得cosA=$\frac{5^{2}-2}{4^{2}}$，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{（9^{2}-2）（2-^{2}）}}{4^{2}}$，由（9b²-2）（2-b²）≥0，解得$\frac{2}{9}≤^{2}$≤2．
則△ABC的面積S=$\frac{1}{2}bc$sinA=$\frac{1}{2}×2^{2}$×$\frac{\sqrt{（9^{2}-2）（2-^{2}）}}{4^{2}}$=$\frac{1}{4}$$\sqrt{-9（^{2}-\frac{10}{9}）^{2}+\frac{64}{9}}$≤$\frac{2}{3}$，當且僅當b²=$\frac{10}{9}$時取等號．
故答案為：$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了正弦定理、同角三角函數基本關系式、二次函數的單調性、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．