Question

18．已知函數(shù)f（x）=2klnx，g（x）=x²-2kx（k∈R）
（1）設(shè)h（x）=f（x）-g（x），試討論函數(shù)h（x）的單調(diào)性
（2）設(shè)k＞0，若函數(shù)y=f（x）的圖象與y=g（x）的圖象在區(qū)間（0，+∞）上有唯一交點(diǎn)，試求k的值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)h（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論k的范圍判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）問題等價(jià)于方程h（x）=f（x）-g（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上有唯一解，根據(jù)h（x）的單調(diào)性求出k的值即可．

解答 解：（1）函數(shù)h（x）=2klnx-x²+2kx的定義域?yàn)椋?，+∞），----1 分
且h′（x）=-$\frac{2}{x}$（x²-kx-k），--------（2分）
①當(dāng)k≤0時(shí)，對(duì)于任意x∈（0，+∞），都有h′（x）＜0，
∴函數(shù)h（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減；-------------------（3分）
②當(dāng)k＞0時(shí)，由h′（x）=0得x₁=$\frac{k-\sqrt{{k}^{2}+4k}}{2}$，x₂=$\frac{k+\sqrt{{k}^{2}+4k}}{2}$，
∵k＞0，則有x₁＜0＜x₂，∴x₁＜x---------------------（4分）
∴當(dāng)x∈（0，x₂）時(shí)，h′（x）＞0，當(dāng)x∈（x₂，+∞）時(shí)，h′（x）＜0，
∴當(dāng)k＞0時(shí)，函數(shù)h（x）在（0，$\frac{k+\sqrt{{k}^{2}+4k}}{2}$）上單調(diào)遞增；
在（$\frac{k+\sqrt{{k}^{2}+4k}}{2}$，+∞）單調(diào)遞減．--------------------------5
（2）函數(shù)y=f（x）的圖象與y=g（x）的圖象在區(qū)間（0，+∞）上有唯一交點(diǎn)，
等價(jià)于方程h（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上有唯一解，-----------------------（6分）
由（1）可知，當(dāng)k＞0時(shí)，函數(shù)h（x）在（0，$\frac{k+\sqrt{{k}^{2}+4k}}{2}$）上單調(diào)遞增；
在（$\frac{k+\sqrt{{k}^{2}+4k}}{2}$，+∞）單調(diào)遞減．
∴函數(shù)h（x）在x=x₂取得最大值，
∴h（x₂）=0----------------------------------（8分）
即2klnx₂-${{x}_{2}}^{2}$+2kx₂=0-----（*）
又由于h′（x₂）=0，則有${{x}_{2}}^{2}$-kx₂-k=0，代入（*）式，得
2klnx₂+kx₂-k=0-----（**）--------------------------（9分）
令F（x）=2lnx+x-1，（x＞0），
∴F′（x）=$\frac{2}{x}$+1＞0，
則F（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，且F（1）=0．-------------------（10分）
∴x₂=1---------------------------（11分）
∴$\frac{k+\sqrt{{k}^{2}+4k}}{2}$=1，解得：k=$\frac{1}{2}$．---------------------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．