Question

10．S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，S_n=2a_n-2（n∈N⁺）
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=3na_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過(guò)S_n=2a_n-2與S_n-1=2a_n-1-2（n≥2）作差，進(jìn)而可知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)、公比均為2的等比數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論；
（Ⅱ）通過(guò)（Ⅰ）得b_n=3n×2ⁿ，進(jìn)而利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）依題意，S_n=2a_n-2，S_n-1=2a_n-1-2（n≥2），
兩式相減得：a_n=2a_n-1，
又∵S₁=2a₁-2，即a₁=2，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)、公比均為2的等比數(shù)列，
∴a_n=2ⁿ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得b_n=3n×2ⁿ，
∴T_n=3×2+6×2²+9×2³+…+3n×2ⁿ，
2T_n=3×2²+6×2³+…+3（n-1）×2ⁿ+3n×2ⁿ⁺¹，
兩式相減得：-T_n=3（2+2²+2³+…+2ⁿ）-3n×2ⁿ⁺¹
=3•$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-3n×2ⁿ⁺¹
=-3（n-1）2ⁿ⁺¹-6，
∴T_n=6+3（n-1）2ⁿ⁺¹．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查錯(cuò)位相減法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．