已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+an+1=an2+bn+1(a,b為常數(shù),n∈N*
(1)如果{an}為等差數(shù)列,求a,b的值;
(2)如果{an}為單調遞增數(shù)列,求a+b的取值范圍.
考點:數(shù)列遞推式,數(shù)列的函數(shù)特性
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)由已知得an+1-an=(2n+1)a+b對n∈N*成立,由此能求出a=0,b=2.
(2)由已知得an+2-an=(2n+1)a+b對n∈N*成立,當n為奇數(shù),且n≥3時,由累加法得an=[3+7+…+(2n-3)]a+
n-1
2
b
=
n(n-1)
2
a+
n-1
2
b+1
,當n為偶數(shù),且n≥4時,由累加法能求出a+b的取值范圍是(1,+∞).
解答: 解:(1)∵{an}為等差數(shù)列,設其公差為d,
由an+an+1=an2+bn+1,得an+1+an+2=a(n+1)2+b(n+1)+1,
兩式相減,得an+1-an=(2n+1)a+b對n∈N*成立,
∴a=0,∴2d=b,
又a1+a2=1+1+d=2+d=b+1,
∴d=1,b=2,
∴a=0,b=2.
(2)∵數(shù)列{an}滿足a1=1,an+an+1=an2+bn+1(a,b為常數(shù),n∈N*),
∴an+2-an=(2n+1)a+b對n∈N*成立,
當n為奇數(shù),且n≥3時,
a3-a1=3a+b,
a5-a3=7a+b,

an-an+2=(2n-3)a+b,
把這
n-1
2
個式子的左右兩都相加,得到:
an-a1=[3+7+…+(2n-3)]a+
n-1
2
b

化簡,得an=[3+7+…+(2n-3)]a+
n-1
2
b

=
n(n-1)
2
a+
n-1
2
b+1
,
且當n=1時,a1=1滿足上式.
同理,當n為偶數(shù),且n≥4時,
a4-a2=5a+b,
a6-a4=9a+b,

an-an-2=(2n-3)a+b,
把這
n
2
-1個式子的左右兩邊分別相加,
得到an-a2=[5+9+…+(2n-3)]a+(
n
2
-1)b

化簡,得an=[5+9+…+(2n-3)a+(
n
2
-1
)b+(a+b),
即an=
n(n-1)
2
a+
n
2
b
,且當n=2時,a2=a+b滿足上式,
∴an=
n(n-1)
2
a+
n-1
2
b+1,n為奇數(shù)
n(n-1)
2
a+
n
2
n,n為偶數(shù)

∵{an}為單調遞增數(shù)列,∴an<an+1
當n為奇數(shù)時,∵an<an+1,即
n(n-1)
2
a+
n-1
2
b+1<
(n+1)n
2
a+
n+1
2
b

∴na+b-1>0,
∴b>1-na,
當n為偶數(shù)時,∵an<an+1,即
n(n-1)
2
a+
n
2
b<
(n+1)n
2
a+
n
2
b+1
,
∴na+1>0,即a>-
1
n
,
∴a≥0,綜上a+b的取值范圍是(1,+∞).
點評:本題考查{an}為等差數(shù)列,a,b的值的求法,考查{an}為單調遞增數(shù)列時,a+b的取值范圍的求法,解題時要認真審題,注意分類討論思想的合理運用.
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2cos25°-cos85°
sin25°+
3
cos25°
=
 

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在△ABC中,∠BAC=45°,AC=a,AB=
2
AC,E,F(xiàn)為邊BC的三等分點,則
AE
AF
=( 。
A、
11
9
a2
B、
5
4
a2
C、
5
3
a2
D、
15
8
a2

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如圖,⊙O是等腰三角形ABC的外接圓,AB=AC,延長BC到點D,使CD=AC,連接AD交⊙O于點E,連接BE與AC交于點F.
(1)判斷BE是否平分∠ABC,并說明理由;
(2)若AE=6,BE=8,求EF的長.

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已知函數(shù)f(x)=
a(x-b)
(x-b)2+c
(a≠0,b∈R,c>0),g(x)=m[f(x)]2-n(m,n∈R,且mn>0),給出下列命題,①函數(shù)f(x)的圖象關于點(b,0)成中心對稱;②存在實數(shù)p和q,使得p≤f(x)≤q對于任意實數(shù)x恒成立;③關于x的方程g(x)=0的解集可能為{-4,-2,0,3}其中正確的是(  )
A、①②B、②③C、①③D、①②③

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已知橢圓γ:
x2
4
+y2
=1的右焦點為F,左頂點為R,點A(2,1),B(-2,1),O為坐標原點.
(1)若P是橢圓γ上任意一點,
OP
=m
OA
+n
OB
,求m2+n2的值;
(2)設Q是橢圓γ上任意一點,S(t,0),t∈(2,5),求
QS
QR
的取值范圍;
(3)過F作斜率為k的直線l交橢圓γ于C,D兩點,交y軸于點E,若
EC
=λ1
CF
,
ED
=λ2
DF
,試探究λ12是否為定值,說明理由.

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過雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的左焦點F作圓O:x2+y2=a2的兩條切線,切點分別為A,B,雙曲線的左頂點為C,若∠ACB=120°,求雙曲線的漸近線方程.

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設向量
a
,
b
,
c
滿足
a
+
b
+
c
=
0
,且
a
b
=0
,則|
a
|=3,|
c
|=4
,則|
b
|
=(  )
A、5
B、
7
C、
5
D、7

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某客運部門規(guī)定甲、乙兩地之間旅客托運行李的費用為:不超過25kg按0.5元/kg收費,超過25kg的部分按0.8元/kg收費,計算收費的程序框圖如右圖所示,則①②處應填(  )
A、y=0.8xy=0.5x
B、y=0.5xy=0.8x
C、y=0.8x-7.5y=0.5x
D、y=0.8x+12.5y=0.8x

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