Question

4．已知函數(shù)f（x）=log_a|ax²-x|在[1，2]上單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，$\frac{1}{4}$]∪{$\frac{1}{2}$}∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 令t=|ax²-x|，畫(huà)出其圖象，要使原復(fù)合函數(shù)在[1，2]上單調(diào)，則需內(nèi)函數(shù)t=|ax²-x|在[1，2]上單調(diào)，任何對(duì)a分類討論求解，最后取并集得答案．

解答 解：令t=|ax²-x|，其圖象如圖：

若a＞1則$0＜\frac{1}{a}＜1$，滿足函數(shù)f（x）=log_a|ax²-x|在[1，2]上單調(diào)；
若0＜a＜1，則$\frac{1}{a}＞1$，要使函數(shù)f（x）=log_a|ax²-x|在[1，2]上單調(diào)，
則$\frac{1}{2a}≥2$①，或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2a}≤1}\\{\frac{1}{a}≥2}\end{array}\right.$②，
解①得，0$＜a≤\frac{1}{4}$，
解②得，a=$\frac{1}{2}$．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，$\frac{1}{4}$]∪{$\frac{1}{2}$}∪（1，+∞）．
故答案為：（0，$\frac{1}{4}$]∪{$\frac{1}{2}$}∪（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．