Question

△ABC中，∠A=60°，點(diǎn)D在邊AC上，DB=

3

，且

BD

=λ（

BA

| BA |sinA

+

BC

| BC |sinC

）（λ＞0），則AC+AB的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義

專(zhuān)題：解三角形,平面向量及應(yīng)用

分析：根據(jù)

BD

=λ(

BA

| BA |sinA

+

BC

| BC |sinC

)容易判斷點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，所以在△ABD中，由余弦定理得：3=AB²+AD²-2AB•ADcos∠A，將AD=

1

2

AC，∠A=60°帶入并整理以及根據(jù)基本不等式可得，4AB²+AC²-12=2AB•AC≤AB²+AC²，（AB=AC時(shí)取“=“），這樣即可求得AB，AC的最大值，所以求得AC+AB的最大值．

解答： 解：如圖，過(guò)B作BE⊥AC，垂足為E，取AC中點(diǎn)F，連接BF，則：

BD

=λ(

BA

|BE|

+

BC

|BE|

)=

λ

|BE|

(

BA

+

BC

)=

2λ

|BE|

BF

；
∴

BD

與

BF

共線，∴D點(diǎn)和F點(diǎn)重合，∴D是AC的中點(diǎn)；
∴在△ABD中由余弦定理得：3=AB²+AD²-2AB•ADcos60°=AB2+(

1

2

AC)2-AB•(

1

2

AC)=AB2+

1

4

AC2-

1

2

AB•AC；
∴4AB²+AC²-12=2AB•AC≤AB²+AC²，∴AB²≤4，（當(dāng)且僅當(dāng)AB=AC時(shí)取“=“）；
∴AB最大為2，此時(shí)AC取最大2，∴AC+AB的最大值為4．

點(diǎn)評(píng)：考查向量加法的平行四邊形法則，共線向量基本定理，余弦定理，基本不等式．