Question

14．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，P（2，0）是它一個頂點，直線l：y=k（x-1）與橢圓C交于不同的兩點A．B．
（Ⅰ）求橢圓C的方程及焦點坐標(biāo)；
（Ⅱ）若△PAB的面積為$\frac{\sqrt{10}}{3}$時，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意得a=2，$e=\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²+c²，聯(lián)立解出即可得出．
（Ⅱ）直線方程與橢圓方程聯(lián)立得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-4=0，設(shè)點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用根與系數(shù)的關(guān)系可得|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$．求出點P到直線l的距離d．利用△PAB的面積S=$\frac{1}{2}$|AB|d即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由題意得a=2，$e=\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²+c²，聯(lián)立解得b=c=$\sqrt{2}$．
橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
焦點坐標(biāo)為F₁（-$\sqrt{2}$，0），F(xiàn)₂$（\sqrt{2}，0）$．
（Ⅱ）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，整理得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-4=0，
設(shè)點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{2{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$．
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{\sqrt{1+{k}^{2}}×2\sqrt{2（3{k}^{2}+2）}}{2{k}^{2}+1}$．
又∵點P到直線l的距離d=$\frac{|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
∴△PAB的面積S=$\frac{1}{2}$|AB|d=$\frac{|k|\sqrt{6{k}^{2}+4}}{2{k}^{2}+1}$=$\frac{\sqrt{10}}{3}$．解得k=±1，
∴直線l的方程為：y=±（x-1）．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長問題、點到直線的距離公式、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．