Question

3．如圖，橢圓的中心在原點，其左焦點F₁與拋物線y²=-4x的焦點重合，過點F₁的直線l與橢圓交于A，B兩點，與拋物線交于C，D兩點，當直線l與x軸垂直時，$\frac{|CD|}{|AB|}$=2$\sqrt{2}$．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)F₂是橢圓的右焦點，求$\overrightarrow{{F_2}A}$•$\overrightarrow{{F_2}B}$的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由拋物線方程求得焦點坐標和點C和點D坐標，由題意可知$\frac{丨{F}_{1}C丨}{丨{F}_{1}A丨}$=$\frac{|CD|}{|AB|}$=2$\sqrt{2}$，求得丨F₁A丨=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求得A點坐標，代入橢圓方程，根據(jù)橢圓的性質(zhì)即可求得a和b的值，求得橢圓的方程；
（2）當AB垂直于x軸，求得A和B點坐標，求得向量$\overrightarrow{{F_2}A}$和$\overrightarrow{{F_2}B}$，由$\overrightarrow{{F}_{2}A}$•$\overrightarrow{{F}_{2}A}$=4-$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{2}$，當AB與x軸不垂直，設(shè)直線AB的方程，代入橢圓方程，由韋達定理可知：x₁+x₂，x₁•x₂，由$\overrightarrow{{F}_{2}A}$=（x₁-1，y₁），$\overrightarrow{{F}_{2}B}$=（x₂-1，y₂），根據(jù)向量數(shù)量積的坐標表示，$\overrightarrow{{F}_{2}A}$•$\overrightarrow{{F}_{2}A}$=$\frac{7}{2}$-$\frac{9}{2（1+2{k}^{2}）}$，由k²≥0，即可求得$\overrightarrow{{F}_{2}A}$•$\overrightarrow{{F}_{2}A}$∈[-1，$\frac{7}{2}$]．

解答 解：（1）由拋物線方程，得焦點F₁（-1，0）．
設(shè)橢圓的方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=-4x}\\{x=-1}\end{array}\right.$，求得C（-1，2），D（1，-2），
由于拋物線、橢圓都關(guān)于x軸對稱，
∴$\frac{丨{F}_{1}C丨}{丨{F}_{1}A丨}$=$\frac{|CD|}{|AB|}$=2$\sqrt{2}$，丨F₁A丨=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴A（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{2^{2}}=1$，
又a²-b²=c²=1，
因此，$\frac{1}{^{2}+1}+\frac{1}{2^{2}}=1$，解得：b²=1，a²=2，
橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；…5分．
（Ⅱ） 由F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
①AB垂直于x軸，則A（-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），B（-1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
∴$\overrightarrow{{F}_{2}A}$=（-2，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{{F}_{2}B}$=（-2，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{{F}_{2}A}$•$\overrightarrow{{F}_{2}A}$=4-$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{2}$
②若AB與x軸不垂直，設(shè)直線AB的斜率為k，
則直線AB的方程為y=k（x+1），
 由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+2k²）x²+4k²x+2（k²-1）=0，
△=8k²+8＞0，
∴方程有兩個不等的實數(shù)根．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₁+x₂=-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{2（{k}^{2}-1）}{1+2{k}^{2}}$，
∴$\overrightarrow{{F}_{2}A}$=（x₁-1，y₁），$\overrightarrow{{F}_{2}B}$=（x₂-1，y₂），
$\overrightarrow{{F}_{2}A}$•$\overrightarrow{{F}_{2}A}$=（x₁-1）（x₂-1）+y₁•y₂=（x₁-1）（x₂-1）+k²（x₁+1）（x₂+1），
=（1+k²）x₁•x₂+（k²-1）（x₁+x₂）+1+k²，
=（1+k²）•$\frac{2（{k}^{2}-1）}{1+2{k}^{2}}$+（k²-1）•（-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$）+1+k²，
=$\frac{7{k}^{2}-1}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{7}{2}$-$\frac{9}{2（1+2{k}^{2}）}$，
由k²≥0，1+2k²≥1，
∴0≤$\frac{1}{1+2{k}^{2}}$≤1，
∴$\overrightarrow{{F}_{2}A}$•$\overrightarrow{{F}_{2}A}$∈[-1，$\frac{7}{2}$]，
∴當直線l垂于x軸時，$\overrightarrow{{F_2}A}$•$\overrightarrow{{F_2}B}$取得最大值$\frac{7}{2}$；當直線l與x軸重合時，$\overrightarrow{{F_2}A}•\overrightarrow{{F_2}B}$取得最小值-1．…12分

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理，向量數(shù)量積的坐標運算，考查計算能力，屬于中檔題．